2020年考研数学一第10题

首先，已知参数方程： $$x = \sqrt{t^2 + 1}, \quad y = \ln\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right).$$ **第一步：求 $\frac{dx}{dt}$** 将 $x$ 视为 $t$ 的函数，$x = (t^2 + 1)^{1/2}$。利用链式法则求导： $$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}(t^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}.$$ **第二步：求 $\frac{dy}{dt}$** 令 $u = t + \sqrt{t^2 + 1}$，则 $y = \ln u$。由链式法则： $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dt}.$$ 先计算 $\frac{du}{dt}$： $$\frac{du}{dt} = 1 + \frac{d}{dt}\left(\sqrt{t^2 + 1}\right) = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{\sqrt{t^2 + 1}}.$$ 注意 $u = t + \sqrt{t^2 + 1}$，因此 $\frac{1}{u} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}}$。于是 $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{t + \sqrt{t^2 + 1}}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}.$$ 因此得到： $$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}.$$

已知参数方程：$x = \sqrt{t^2 + 1}$，$y = \ln(t + \sqrt{t^2 + 1})$。首先分别求出$x$和$y$对参数$t$的导数。 对$x$求导：$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \sqrt{t^2 + 1} = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 1}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$。 对$y$求导：$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \ln(t + \sqrt{t^2 + 1})$。利用复合函数求导法则，令$u = t + \sqrt{t^2 + 1}$，则$y = \ln u$，$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dt}$。而$\frac{du}{dt} = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{\sqrt{t^2 + 1}}$。因此$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}$。 根据参数方程求导公式，一阶导数$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。代入已求得的导数： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}}{\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t} = \frac{1}{t}.$$ 因此，一阶导数$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$。

已知一阶导数 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$，且 $\frac{dx}{dt} = \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$，因此 $\frac{dt}{dx} = \frac{\sqrt{t^2+1}}{t}$。 二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 是 $\frac{dy}{dx}$ 对 $x$ 的导数，由链式法则： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}. $$ 首先计算 $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$： $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right) = -\frac{1}{t^2}. $$ 然后乘以 $\frac{dt}{dx} = \frac{\sqrt{t^2+1}}{t}$，得到： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \left(-\frac{1}{t^2}\right) \cdot \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} = -\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^3}. $$ 因此，二阶导数为 $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^3}$。

本步骤是求解二阶导数在指定参数值处的数值。已知参数方程 $x = \ln(1+t^2)$，$y = t - \arctan t$，且已求得二阶导数表达式为： $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\sqrt{1+t^2}}{t^3}$$ 现在需要计算当 $t=1$ 时的值。将 $t=1$ 代入上式： $$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=1} = -\frac{\sqrt{1+1^2}}{1^3} = -\frac{\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2}$$ 因此，在 $t=1$ 对应的点处，二阶导数的值为 $-\sqrt{2}$。 最终答案验证：将 $t=1$ 代入原参数方程，得 $x = \ln(1+1) = \ln 2$，$y = 1 - \arctan 1 = 1 - \frac{\pi}{4}$。所求二阶导数 $-\sqrt{2}$ 即为曲线在该点处的曲率相关量，结果简洁且符合预期。