2020年考研数学一第11题

对于二阶常系数线性微分方程 $y'' + a y' + y = 0$，其特征方程为 $\lambda^2 + a\lambda + 1 = 0$。这是一个关于 $\lambda$ 的一元二次方程，判别式为 $\Delta = a^2 - 4$。根据 $a$ 的不同取值范围，特征根的形式不同，需要分类讨论： 1. 当 $a > 2$ 时，$\Delta > 0$，方程有两个不相等的实根： $$\lambda_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4}}{2}$$ 由于 $a > 2$，$\sqrt{a^2-4} < a$，故两个根均为负实数。 2. 当 $a = 2$ 时，$\Delta = 0$，方程有重根： $$\lambda_1 = \lambda_2 = -1$$ 此时特征根为负实数重根。 3. 当 $0 < a < 2$ 时，$\Delta < 0$，方程有一对共轭复根： $$\lambda_{1,2} = \frac{-a \pm i\sqrt{4-a^2}}{2}$$ 其实部 $\operatorname{Re}(\lambda) = -\frac{a}{2} < 0$，虚部 $\operatorname{Im}(\lambda) = \pm \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}$。 注意：题目中 $a$ 为正数，故不考虑 $a \leq 0$ 的情形。后续步骤将根据这三种情况分别写出微分方程的通解形式。

在步骤1中，我们得到了三种情况下的通解形式。现在分析每种情况下当$x \to +\infty$时$f(x)$和$f'(x)$的极限。 **情况1：$\lambda^2 - 4k < 0$（特征根为共轭复根）** 通解为： $$f(x) = e^{-\frac{\lambda}{2}x}\left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right)$$ 其中$\beta = \frac{\sqrt{4k - \lambda^2}}{2} > 0$。由于指数因子$e^{-\frac{\lambda}{2}x}$中$\lambda > 0$，故当$x \to +\infty$时，$e^{-\frac{\lambda}{2}x} \to 0$，而三角函数部分有界（$|\cos(\beta x)| \leq 1$，$|\sin(\beta x)| \leq 1$），因此$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。 求导得： $$f'(x) = -\frac{\lambda}{2}e^{-\frac{\lambda}{2}x}\left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right) + e^{-\frac{\lambda}{2}x}\left(-C_1\beta \sin(\beta x) + C_2\beta \cos(\beta x)\right)$$ $$= e^{-\frac{\lambda}{2}x}\left[\left(-\frac{\lambda}{2}C_1 + \beta C_2\right)\cos(\beta x) + \left(-\frac{\lambda}{2}C_2 - \beta C_1\right)\sin(\beta x)\right]$$ 同样，指数因子$e^{-\frac{\lambda}{2}x} \to 0$，括号内为有界量，故$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。 **情况2：$\lambda^2 - 4k = 0$（特征根为重根）** 通解为： $$f(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-\frac{\lambda}{2}x}$$ 当$x \to +\infty$时，指数衰减$e^{-\frac{\lambda}{2}x} \to 0$的速度快于多项式增长$C_1 + C_2 x$的速度，因此$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。 求导得： $$f'(x) = C_2 e^{-\frac{\lambda}{2}x} - \frac{\lambda}{2}(C_1 + C_2 x)e^{-\frac{\lambda}{2}x} = e^{-\frac{\lambda}{2}x}\left(C_2 - \frac{\lambda}{2}C_1 - \frac{\lambda}{2}C_2 x\right)$$ 同样，指数衰减快于多项式增长，故$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。 **情况3：$\lambda^2 - 4k > 0$（特征根为两个不等实根）** 通解为： $$f(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$ 其中$r_1 = \frac{-\lambda + \sqrt{\lambda^2 - 4k}}{2}$，$r_2 = \frac{-\lambda - \sqrt{\lambda^2 - 4k}}{2}$。由于$\lambda > 0$且$k > 0$，有$\sqrt{\lambda^2 - 4k} < \lambda$，故$r_1 < 0$，$r_2 < 0$。因此两个指数项均衰减到0，$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。 求导得： $$f'(x) = C_1 r_1 e^{r_1 x} + C_2 r_2 e^{r_2 x}$$ 由于$r_1 < 0$，$r_2 < 0$，故$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。 综上所述，三种情况下通解均含指数衰减因子，故$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。

已知函数$f(x)$满足微分方程$f''(x)+af'(x)+f(x)=0$，其中$a$为常数。我们的目标是将积分$\int f(x) \, dx$中的被积函数$f(x)$用$f''(x)$和$f'(x)$表示，以便后续利用分部积分法简化计算。 由微分方程直接移项可得： $$f(x) = -f''(x) - a f'(x).$$ 这个改写是线性的，因此对于任意常数倍或线性组合的积分，都可以直接代入。例如，若原积分中含有$f(x)$，则将其替换为$-f''(x)-af'(x)$，从而将原积分转化为关于$f''(x)$和$f'(x)$的积分。 注意：此步骤仅对满足该微分方程的函数$f(x)$成立。在后续步骤中，我们将利用这一关系对积分进行分部积分，从而消去高阶导数项，最终得到只含$f(x)$和已知函数的表达式。

由前一步已知，原函数满足微分方程 $f''(x) + a f'(x) = -f(x)$，且 $f(0)=0$，$f'(0)=1$。我们需要计算积分 $I = \int_0^{+\infty} f(x) \, dx$。 将微分方程变形为 $f(x) = -[f''(x) + a f'(x)]$，代入积分得： $$ I = \int_0^{+\infty} f(x) \, dx = -\int_0^{+\infty} [f''(x) + a f'(x)] \, dx. $$ 对右端积分应用牛顿-莱布尼茨公式，即直接积分： $$ \int_0^{+\infty} f''(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} [f'(b) - f'(0)], \quad \int_0^{+\infty} f'(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} [f(b) - f(0)]. $$ 因此， $$ I = -\left[ \lim_{b \to +\infty} (f'(b) - f'(0)) + a \lim_{b \to +\infty} (f(b) - f(0)) \right]. $$ 利用初始条件 $f(0)=0$，$f'(0)=1$，得： $$ I = -\left[ \lim_{b \to +\infty} f'(b) - 1 + a \lim_{b \to +\infty} f(b) \right]. $$ 整理为： $$ I = 1 - \lim_{b \to +\infty} f'(b) - a \lim_{b \to +\infty} f(b). $$ 记 $A = \lim_{x \to +\infty} f(x)$，$B = \lim_{x \to +\infty} f'(x)$，则 $I = 1 - B - aA$。 接下来需要根据微分方程和初始条件确定 $A$ 和 $B$ 的值。由微分方程 $f'' + a f' + f = 0$ 的特征方程 $r^2 + a r + 1 = 0$，其根为 $r = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2}$。由于 $a>0$，且题目隐含 $a \neq 2$（否则为临界阻尼），通常 $a>2$ 或 $0

公式：$$\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = -\int_0^{+\infty} [f''(x) + a f'(x)] \, dx = -\left[ f'(x) + a f(x) \right] \Big|_0^{+\infty}$$

提示：注意利用微分方程将 $f(x)$ 替换为导数项，再积分化简，最后利用解的衰减性确定极限值。