2020年考研数学一第21题

解答题 · 11分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha})$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。（I）证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵；（II）若 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-6 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ，并判断 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵。

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（ I ）方法一（反证法）设 $\boldsymbol{P}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关，即 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 成比例，于是 $\boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 或 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=l \boldsymbol{\alpha}$ ，因为 $\boldsymbol{\alpha}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，所以 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=l \boldsymbol{\alpha}$ 不可能；若 $\boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ ，因为 $\boldsymbol{\alpha}$ 为非零向量，所以 $k \neq 0$ ，于是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\displaystyle\frac{1}{k} \boldsymbol{\alpha}$ ，矛盾，故 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关，即 $\boldsymbol{P}$ 可逆．方法二（反证法）设 $\boldsymbol{P}$ 不可逆，即 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}$ ，使得

$$ k_{1} \boldsymbol{\alpha}+k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}, $$

显然 $k_{2} \neq 0$ ，因为若 $k_{2}=0$ ，则 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，由 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ 得 $k_{1}=0$ ，矛盾，故 $k_{2} \neq 0$ ．由 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}+k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=-\displaystyle\frac{k_{1}}{k_{2}} \boldsymbol{\alpha}$ ，矛盾，故 $\boldsymbol{P}$ 可逆．（ II ）（方法一）由 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-6 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 有 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}=6 \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ $$ \begin{aligned} \boldsymbol{A P} & =\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha})=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}\right)=(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, 6 \boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}) \\ & =(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha})\left[\begin{array}{cc} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned} $$

因 $\boldsymbol{P}$ 可逆，于是

$$ \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 6 \\ -1 & -1 \end{array}\right] $$

记 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ ，而 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -6 \\ -1 & \lambda+1\end{array}\right|=\lambda^2+\lambda-6$ 特征值 $2 .-3$ ．于是 $\boldsymbol{A}$ 有 2 个不同特征值从而 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化．（方法二）因 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-6 \boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})$ ，由 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-6 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，即 $\left(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-6 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，于是 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，即 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+3 \boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0}$ ，即 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+3 \boldsymbol{\alpha})=2(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+3 \boldsymbol{\alpha})$ ，

由 $\boldsymbol{\alpha}$ 不是特征向量，有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}+3 \boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$ 从而 $\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，类似有 $\lambda=-3$ 是特征值．下略．

📋 详细解题步骤

步骤 2/6

目标：利用条件化简A²α

已知条件为 $A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$，这是一个关于向量 $\alpha$ 的线性关系式。我们的目标是将 $A^2\alpha$ 用 $\alpha$ 和 $A\alpha$ 表示出来。将等式 $A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$ 移项，把 $A^2\alpha$ 单独放在等式左边，其余项移到右边： $$A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha.$$ 这样我们就得到了 $A^2\alpha$ 的化简表达式。注意，这里的 $\alpha$ 是某个非零向量（通常由题目隐含），$A$ 是 $n$ 阶矩阵。该化简结果将用于后续步骤中计算 $A^n\alpha$ 或求解特征值等问题。推导过程简单明了，只需一次移项即可完成。

公式：$$A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$$

提示：移项时注意符号变化，将 $A\alpha$ 和 $-6\alpha$ 移到右边要变号。

步骤 3/6

目标：计算AP

已知矩阵 $A$ 和向量 $\alpha$ 满足 $A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$，且 $\alpha$ 与 $A\alpha$ 线性无关。设 $P = (\alpha, A\alpha)$，则 $AP = A(\alpha, A\alpha) = (A\alpha, A^2\alpha)$。将已知关系式 $A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$ 代入，得到 $AP = (A\alpha, 6\alpha - A\alpha)$。因此，矩阵 $AP$ 的列向量分别为 $A\alpha$ 和 $6\alpha - A\alpha$。这一结果将用于后续将 $AP$ 表示为 $P$ 乘以某个矩阵的形式，从而得到 $A$ 在基 $\{\alpha, A\alpha\}$ 下的表示矩阵。

公式：AP = (A\alpha, 6\alpha - A\alpha)

提示：注意 $AP$ 是矩阵乘法，结果矩阵的列是 $A$ 乘以 $P$ 的各列。

步骤 4/6

目标：将AP表示为P乘以矩阵

已知矩阵 $P = (\alpha, A\alpha)$，其中 $\alpha$ 是三维列向量，$A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵。我们需要计算 $AP$，即 $A$ 左乘 $P$。首先，$P$ 的列向量为 $\alpha$ 和 $A\alpha$，因此 $$ AP = A(\alpha, A\alpha) = (A\alpha, A^2\alpha). $$ 根据题目条件，$A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$，代入上式得 $$ AP = (A\alpha, 6\alpha - A\alpha). $$ 现在，我们希望将 $AP$ 表示为 $P$ 右乘一个 $2 \times 2$ 矩阵的形式，即存在矩阵 $B$ 使得 $AP = P B$。设 $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$，则 $$ P B = (\alpha, A\alpha) \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = (b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha, \; b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha). $$ 比较 $AP$ 与 $P B$ 的列向量： - 第一列：$A\alpha = b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha$，因此 $b_{11}=0$，$b_{21}=1$。 - 第二列：$6\alpha - A\alpha = b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha$，因此 $b_{12}=6$，$b_{22}=-1$。所以 $$ B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$ 因此，我们得到关系式 $$ AP = P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$

公式：$$AP = P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

提示：将矩阵乘法按列分块，逐列比较系数即可快速得到结果。

步骤 5/6

目标：求P⁻¹AP

由前一步骤已知矩阵 $P$ 满足关系式 $AP = P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。为了求出 $P^{-1}AP$，我们对方程两边同时左乘 $P^{-1}$。由于矩阵乘法满足结合律，左乘后得到： $$P^{-1}(AP) = P^{-1} \left( P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$$ 左边 $P^{-1}(AP) = (P^{-1}A)P$，右边 $P^{-1} \left( P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \right) = (P^{-1}P) \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。因为 $P^{-1}P = I$（单位矩阵），所以右边简化为 $I \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。因此，我们得到： $$(P^{-1}A)P = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 但注意，我们最终需要的是 $P^{-1}AP$，而不是 $(P^{-1}A)P$。实际上，由结合律 $(P^{-1}A)P = P^{-1}(AP)$，而 $P^{-1}(AP)$ 正是我们左乘后得到的表达式，所以上式直接给出： $$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 因此，无需进一步计算，$P^{-1}AP$ 即为题目中给出的矩阵。这一结果在后续步骤中将用于求解矩阵 $A$ 的幂或其他相关问题。

公式：$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

提示：左乘逆矩阵时注意顺序，始终在等式两边同一侧乘。

步骤 6/6

目标：判断A是否可对角化

本步骤的目标是判断矩阵$A$是否可相似对角化。由前几步已知，矩阵$A$的Jordan标准形由矩阵$B$决定，且$A$可对角化当且仅当$B$可对角化。因此，我们只需分析矩阵$B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。首先，求$B$的特征值。特征多项式为$|\lambda E - B| = \begin{vmatrix} \lambda & -6 \\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda+1) - 6 = \lambda^2 + \lambda - 6$。令其等于零，得$\lambda^2 + \lambda - 6 = 0$，解得$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = -3$。由于$B$是$2 \times 2$矩阵，且有两个不同的特征值$2$和$-3$，每个特征值的几何重数（即特征子空间的维数）至少为$1$，而代数重数均为$1$，故几何重数等于代数重数。因此$B$可相似对角化。因为$A$与$B$具有相同的可对角化性质（由前几步的推导，$A$的Jordan块结构完全由$B$决定），所以$A$也可相似对角化。最终答案：矩阵$A$可相似对角化。

公式：|\lambda E - B| = \lambda^2 + \lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 2,\ \lambda_2 = -3

提示：不同特征值一定可对角化，无需再求特征向量。

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