2020年考研数学一第22题

解答题 · 11分

📝 题目

设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 相互独立，其中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 均服从标准正态分布，$X_{3}$ 的概率分布为 $P\left\{X_{3}=0\right\}=P\left\{X_{3}=1\right\}=\displaystyle\frac{1}{2} . Y=X_{3} X_{1}+\left(1-X_{3}\right) X_{2}$ 。 （I）求二维随机变量 $\left(X_{1}, Y\right)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示； （II）证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布。

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（I）二维随机变量 $\left(X_{1}, Y\right)$ 的分布函数为

$$ \begin{aligned} F(x, y) & =P\left\{X_{1} \leqslant x, Y \leqslant y\right} \\ & =\frac{1}{2} P\left\{X_{1} \leqslant x, Y \leqslant y \mid X_{3}=0\right}+\frac{1}{2} P\left\{X_{1} \leqslant x, Y \leqslant y \mid X_{3}=1\right} \\ & =\frac{1}{2} P\left\{X_{1} \leqslant x, X_{2} \leqslant y\right}+\frac{1}{2} P\left\{X_{1} \leqslant x, X_{1} \leqslant y\right} \\ & =\frac{1}{2} P\left\{X_{1} \leqslant x\right} P\left\{X_{2} \leqslant y\right}+\frac{1}{2} P\left\{X_{1} \leqslant x, X_{1} \leqslant y\right} \end{aligned} $$

当 $x\lt y$ 时，

$$ F(x, y)=\frac{1}{2} \Phi(x) \Phi(y)+\frac{1}{2} \Phi(x) ; $$

当 $x \geqslant y$ 时，同理可得

$$ F(x, y)=\frac{1}{2} \Phi(x) \Phi(y)+\frac{1}{2} \Phi(y), $$

即 $F(x, y)= \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{2} \Phi(x) \Phi(y)+\displaystyle\frac{1}{2} \Phi(x), & x\lt y, \\ \displaystyle\frac{1}{2} \Phi(x) \Phi(y)+\displaystyle\frac{1}{2} \Phi(y), & x \geqslant y .\end{cases}$

（II）$Y$ 的分布函数

$$ \begin{aligned} F_\gamma(y)= & P\left\{X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2 \leqslant y\right} \\ = & P\left\{X_3=0\right} P\left\{X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2 \leqslant y \mid X_3=0\right}+ \\ & P\left\{X_3=1\right} P\left\{X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2 \leqslant y \mid X_3=1\right} \\ = & \frac{1}{2} P\left\{X_2 \leqslant y \mid X_3=0\right}+\frac{1}{2} P\left\{X_1 \leqslant y \mid X_3=1\right} \\ = & \frac{1}{2} P\left\{X_2 \leqslant y\right}+\frac{1}{2} P\left\{X_1 \leqslant y\right}=\frac{1}{2} \Phi(y)+\frac{1}{2} \Phi(y)=\Phi(y) \end{aligned} $$

$Y \sim N(0,1)$.

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：写出(X1,Y)的分布函数定义并应用全概率公式
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，且 $X_1, X_2 \sim N(0,1)$，$X_3$ 服从参数为 $p$ 的 $0-1$ 分布，即 $P\{X_3=0\}=p$，$P\{X_3=1\}=1-p$。定义 $Y = X_3 X_1 + (1-X_3) X_2$。 第一步：写出 $(X_1, Y)$ 的联合分布函数定义。由定义， $$ F(x,y) = P\{X_1 \le x, \, Y \le y\}. $$ 第二步：利用 $X_3$ 与 $X_1, X_2$ 独立，对 $X_3$ 的取值应用全概率公式。因为 $X_3$ 只取 $0$ 或 $1$，故 $$ F(x,y) = P\{X_1 \le x, \, Y \le y \mid X_3=0\} P\{X_3=0\} + P\{X_1 \le x, \, Y \le y \mid X_3=1\} P\{X_3=1\}. $$ 第三步：分别化简两个条件概率。 - 当 $X_3=0$ 时，$Y = X_2$，且 $X_1$ 与 $X_2$ 独立，故 $$ P\{X_1 \le x, \, Y \le y \mid X_3=0\} = P\{X_1 \le x, \, X_2 \le y\} = \Phi(x) \Phi(y), $$ 其中 $\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布函数。 - 当 $X_3=1$ 时，$Y = X_1$，此时事件 $\{X_1 \le x, \, Y \le y\}$ 等价于 $\{X_1 \le x, \, X_1 \le y\} = \{X_1 \le \min(x,y)\}$，故 $$ P\{X_1 \le x, \, Y \le y \mid X_3=1\} = P\{X_1 \le \min(x,y)\} = \Phi(\min(x,y)). $$ 第四步：代入全概率公式，得到 $$ F(x,y) = p \cdot \Phi(x) \Phi(y) + (1-p) \cdot \Phi(\min(x,y)). $$ 此即为 $(X_1, Y)$ 的联合分布函数表达式。
公式：$$F(x,y) = p \cdot \Phi(x) \Phi(y) + (1-p) \cdot \Phi(\min(x,y))$$
提示：注意 $X_3$ 的取值将 $Y$ 转化为 $X_1$ 或 $X_2$，利用独立性简化计算。
步骤 2/7
目标：计算X3=0时的条件概率
当$X_3=0$时，由题目条件可知$Y = X_2$。因此条件分布函数为： $$F_{X_1,Y|X_3=0}(x,y) = P\{X_1 \le x, Y \le y \mid X_3=0\} = P\{X_1 \le x, X_2 \le y \mid X_3=0\}.$$ 由于$X_1, X_2, X_3$相互独立，且$X_3=0$这一事件与$X_1, X_2$无关，因此条件概率等于无条件概率： $$P\{X_1 \le x, X_2 \le y \mid X_3=0\} = P\{X_1 \le x, X_2 \le y\}.$$ 再利用$X_1$与$X_2$的独立性，得到： $$P\{X_1 \le x, X_2 \le y\} = P\{X_1 \le x\} \cdot P\{X_2 \le y\} = \Phi(x) \cdot \Phi(y).$$ 其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布的分布函数。因此，当$X_3=0$时，条件分布函数为$\Phi(x)\Phi(y)$，即$X_1$与$Y$条件独立，且均服从标准正态分布。
公式：$$F_{X_1,Y|X_3=0}(x,y) = \Phi(x)\Phi(y)$$
提示：利用独立性将条件概率转化为无条件概率，再分解为边缘分布乘积。
步骤 3/7
目标：计算X3=1时的条件概率
已知随机变量$X_1,X_2,X_3$独立同分布，服从参数为$p$的0-1分布，即$P(X_i=1)=p$，$P(X_i=0)=1-p$。定义$Y=X_1X_2+(1-X_1)X_3$。在步骤2中已得到条件概率$P(Y\leq y|X_3=1)=P(X_1X_2+(1-X_1)\cdot 1\leq y|X_3=1)=P(X_1X_2+1-X_1\leq y|X_3=1)$。由于$X_1,X_2,X_3$独立，条件$X_3=1$不影响$X_1,X_2$的分布，故条件概率等于无条件概率$P(X_1X_2+1-X_1\leq y)$。化简表达式：$X_1X_2+1-X_1=1-X_1(1-X_2)$。当$X_1=0$时，该值为$1$；当$X_1=1$时，该值为$X_2$。因此$Y$在$X_3=1$条件下等价于：若$X_1=0$则$Y=1$，若$X_1=1$则$Y=X_2$。于是事件$\{Y\leq y\}$可分解为：$\{X_1=0\}\cap\{1\leq y\}$与$\{X_1=1\}\cap\{X_2\leq y\}$。由于$X_1$与$X_2$独立，且$X_1$服从0-1分布，故$P(Y\leq y|X_3=1)=P(X_1=0)\cdot I(1\leq y)+P(X_1=1)\cdot P(X_2\leq y)$，其中$I(\cdot)$为示性函数。代入$P(X_1=0)=1-p$，$P(X_1=1)=p$，$P(X_2\leq y)$为$X_2$的分布函数$F_{X_2}(y)$。由于$X_2$只取0或1，其分布函数为：当$y<0$时$F_{X_2}(y)=0$；当$0\leq y<1$时$F_{X_2}(y)=1-p$；当$y\geq 1$时$F_{X_2}(y)=1$。因此需分情况讨论： - 当$y<0$时：$I(1\leq y)=0$，$F_{X_2}(y)=0$，故条件概率为$0$。 - 当$0\leq y<1$时：$I(1\leq y)=0$，$F_{X_2}(y)=1-p$，故条件概率为$p(1-p)$。 - 当$y\geq 1$时：$I(1\leq y)=1$，$F_{X_2}(y)=1$，故条件概率为$(1-p)\cdot 1 + p\cdot 1 = 1$。 因此条件分布函数为分段函数： $$F_{Y|X_3=1}(y)=\begin{cases}0, & y<0\\ p(1-p), & 0\leq y<1\\ 1, & y\geq 1\end{cases}$$
公式：$$F_{Y|X_3=1}(y)=\begin{cases}0, & y<0\\ p(1-p), & 0\leq y<1\\ 1, & y\geq 1\end{cases}$$
提示：利用$X_3=1$简化表达式后，将$Y$表示为$X_1$和$X_2$的函数，再分$X_1$取值讨论。
步骤 4/7
目标：合并得到分段形式的分布函数
在前三步中，我们已分别得到两个区域的概率密度函数及其对应的分布函数表达式。现在需要将两部分加权平均，得到完整的联合分布函数 $F(x,y)$ 的分段表达式。 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y)$。根据全概率公式，当 $(x,y)$ 落在不同区域时，$F(x,y)$ 由不同部分的贡献叠加而成。 首先，回顾已知条件：总概率空间被划分为两个区域 $D_1$ 和 $D_2$，其概率权重分别为 $p$ 和 $1-p$（$0
公式：$$F(x,y)=\begin{cases} 0, & x<0\text{ 或 }y<0,\\ p\,xy+(1-p)\,x^2y^2, & 0\leq x<1,\,0\leq y<1,\\ p\,x+(1-p)\,x^2, & 0\leq x<1,\,y\geq 1,\\ p\,y+(1-p)\,y^2, & x\geq 1,\,0\leq y<1,\\ 1, & x\geq 1,\,y\geq 1. \end{cases}$$
提示：注意每个分段区间要覆盖所有实数对，且边界点归属要一致，通常取左闭右开或闭区间。
步骤 5/7
目标：写出Y的分布函数并应用全概率公式
首先，根据题目定义，随机变量$Y$的分布函数为$F_Y(y) = P\{Y \leq y\}$。由$Y = X_3 X_1 + (1 - X_3) X_2$，代入得： $$F_Y(y) = P\{X_3 X_1 + (1 - X_3) X_2 \leq y\}.$$ 由于$X_3$是取值为0或1的随机变量，我们可以利用全概率公式，按$X_3$的取值进行分解： $$F_Y(y) = P\{X_3 = 0\} \cdot P\{X_3 X_1 + (1 - X_3) X_2 \leq y \mid X_3 = 0\} + P\{X_3 = 1\} \cdot P\{X_3 X_1 + (1 - X_3) X_2 \leq y \mid X_3 = 1\}.$$ 当$X_3 = 0$时，$Y = X_2$，因此条件概率为$P\{X_2 \leq y \mid X_3 = 0\}$。当$X_3 = 1$时，$Y = X_1$，条件概率为$P\{X_1 \leq y \mid X_3 = 1\}$。 假设$X_3$与$X_1, X_2$独立（根据题目条件），则条件概率等于无条件概率，即： $$P\{X_2 \leq y \mid X_3 = 0\} = P\{X_2 \leq y\} = F_{X_2}(y),$$ $$P\{X_1 \leq y \mid X_3 = 1\} = P\{X_1 \leq y\} = F_{X_1}(y).$$ 记$p = P\{X_3 = 1\}$，$1-p = P\{X_3 = 0\}$，则分布函数为： $$F_Y(y) = (1-p) F_{X_2}(y) + p F_{X_1}(y).$$ 此即$Y$的分布函数表达式。后续步骤需根据$X_1$和$X_2$的具体分布（如指数分布）代入计算。
公式：$$F_Y(y) = (1-p) F_{X_2}(y) + p F_{X_1}(y)$$
提示：按离散变量$X_3$全概率展开时，先确定每个分支下$Y$的表达式，再代入分布函数。
步骤 6/7
目标：计算条件概率并化简
由步骤5已知，当$X_3=0$时，$Y = X_2$；当$X_3=1$时，$Y = X_1$。且$X_1, X_2, X_3$相互独立，均服从标准正态分布$N(0,1)$。 首先考虑$X_3=0$的情形。此时$Y = X_2$，而$X_2 \sim N(0,1)$，故对于任意实数$y$，条件分布函数为 $$ P(Y \le y \mid X_3=0) = P(X_2 \le y) = \Phi(y), $$ 其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布函数。 再考虑$X_3=1$的情形。此时$Y = X_1$，而$X_1 \sim N(0,1)$，同理可得 $$ P(Y \le y \mid X_3=1) = P(X_1 \le y) = \Phi(y). $$ 因此，无论$X_3$取0还是1，条件概率均等于$\Phi(y)$，即条件分布与$X_3$的取值无关。于是，$Y$的条件分布函数可统一表示为 $$ P(Y \le y \mid X_3) = \Phi(y), \quad \text{对任意} X_3 \in \{0,1\}. $$ 这一结果说明，在给定$X_3$的条件下，$Y$的条件分布就是标准正态分布，与$X_3$的具体取值无关。
公式：P(Y \le y \mid X_3=0) = \Phi(y), \quad P(Y \le y \mid X_3=1) = \Phi(y)
提示：注意条件概率中，给定$X_3$后$Y$直接等于某个标准正态变量，因此结果就是标准正态分布函数。
步骤 7/7
目标：得出Y服从标准正态分布的结论
由前一步骤已求得随机变量$Y$的分布函数为： $$F_Y(y) = \frac{1}{2}\Phi(y) + \frac{1}{2}\Phi(y) = \Phi(y).$$ 其中$\Phi(y)$为标准正态分布$N(0,1)$的分布函数。 由于分布函数唯一确定随机变量的分布，因此$Y$的分布函数与标准正态分布完全相同，故$Y \sim N(0,1)$，即$Y$服从标准正态分布。 验证：标准正态分布的概率密度函数为$\varphi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$，其分布函数$\Phi(y)=\int_{-\infty}^y \varphi(t)dt$。而$F_Y(y)=\Phi(y)$，所以$Y$的概率密度函数$f_Y(y)=\Phi'(y)=\varphi(y)$，进一步确认$Y$服从标准正态分布。 结论：$Y$服从标准正态分布$N(0,1)$。
公式：$$F_Y(y) = \Phi(y)$$
提示：分布函数相等则分布相同，直接由$F_Y(y)=\Phi(y)$得出$Y\sim N(0,1)$。

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