2020年考研数学一第23题

首先明确生存函数的定义：对于随机变量$T$，其生存函数（也称为可靠度函数）定义为$S(t)=P\{T>t\}$，表示$T$大于$t$的概率。由分布函数$F(t)=P\{T\leq t\}$的性质，有$P\{T>t\}=1-F(t)$。 题目中已知$T$服从威布尔分布，其分布函数为$F(t)=1-e^{-(t/\theta)^m}$，其中$t\geq 0$，$\theta>0$为尺度参数，$m>0$为形状参数。将分布函数代入生存函数表达式： $$S(t)=P\{T>t\}=1-F(t)=1-\left[1-e^{-(t/\theta)^m}\right]=e^{-(t/\theta)^m}.$$ 因此，生存函数为$S(t)=e^{-(t/\theta)^m}$，$t\geq 0$。该函数在可靠性工程中常用于描述产品的寿命分布，其值随$t$增大而单调递减，且$S(0)=1$，$\lim_{t\to+\infty}S(t)=0$。

根据条件概率的定义，对于事件 $A = \{T > s+t\}$ 和 $B = \{T > s\}$，有 $$P\{T > s+t \mid T > s\} = \frac{P\{T > s+t, T > s\}}{P\{T > s\}}.$$ 由于 $s > 0$，$t > 0$，事件 $\{T > s+t\}$ 蕴含事件 $\{T > s\}$，因此 $\{T > s+t\} \cap \{T > s\} = \{T > s+t\}$，分子即为 $P\{T > s+t\}$。 已知生存函数 $S(t) = P\{T > t\} = e^{-(t/\theta)^m}$（$t \geq 0$），代入得 $$P\{T > s+t\} = e^{-((s+t)/\theta)^m}, \quad P\{T > s\} = e^{-(s/\theta)^m}.$$ 因此 $$P\{T > s+t \mid T > s\} = \frac{e^{-((s+t)/\theta)^m}}{e^{-(s/\theta)^m}} = e^{-((s+t)/\theta)^m + (s/\theta)^m} = e^{(s/\theta)^m - ((s+t)/\theta)^m}.$$ 这就是所求的条件概率表达式。

已知分布函数为： $$F_T(t) = \begin{cases} 1 - e^{-(t/\theta)^m}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{cases}$$ 概率密度函数 $f(t)$ 是分布函数 $F_T(t)$ 的导数，即 $f(t) = \frac{d}{dt}F_T(t)$。 当 $t \leq 0$ 时，$F_T(t)=0$，故 $f(t)=0$。 当 $t > 0$ 时，对 $F_T(t) = 1 - e^{-(t/\theta)^m}$ 求导。 令 $u = (t/\theta)^m$，则 $F_T(t) = 1 - e^{-u}$。 由链式法则： $$\frac{d}{dt}F_T(t) = -e^{-u} \cdot \frac{du}{dt} \cdot (-1) = e^{-u} \cdot \frac{du}{dt}$$ 其中 $\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \frac{t^m}{\theta^m} \right) = \frac{m t^{m-1}}{\theta^m}$。 因此： $$f(t) = e^{-(t/\theta)^m} \cdot \frac{m t^{m-1}}{\theta^m} = \frac{m t^{m-1}}{\theta^m} e^{-(t/\theta)^m}, \quad t > 0$$ 综合得： $$f(t) = \begin{cases} \frac{m t^{m-1}}{\theta^m} e^{-(t/\theta)^m}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{cases}$$ 此即为威布尔分布的概率密度函数，其中 $m>0$ 为形状参数，$\theta>0$ 为尺度参数。

根据题目信息，总体 $X$ 服从参数为 $m$ 和 $\theta$ 的威布尔分布，其概率密度函数为： $$f(x;\theta) = \frac{m}{\theta^m} x^{m-1} e^{-(x/\theta)^m}, \quad x > 0, \theta > 0, m > 0$$ 其中 $m$ 已知，$\theta$ 为未知参数。 设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，观测值为 $t_1, t_2, \ldots, t_n$。由于样本独立同分布，似然函数 $L(\theta)$ 为各观测值概率密度函数的乘积： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(t_i;\theta) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{m}{\theta^m} t_i^{m-1} e^{-(t_i/\theta)^m} \right]$$ 将乘积展开： $$L(\theta) = \left( \frac{m}{\theta^m} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n t_i^{m-1} \right) \exp\left( -\sum_{i=1}^n \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m \right)$$ 进一步化简： $$L(\theta) = m^n \theta^{-mn} \left( \prod_{i=1}^n t_i \right)^{m-1} \exp\left( -\theta^{-m} \sum_{i=1}^n t_i^m \right)$$ 这就是似然函数 $L(\theta)$ 的表达式。注意，$\prod_{i=1}^n t_i$ 表示所有观测值的乘积，$\sum_{i=1}^n t_i^m$ 表示每个观测值的 $m$ 次幂之和。该函数是后续求极大似然估计的基础。

在得到似然函数 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{m}{\theta} \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^{m-1} e^{-(t_i/\theta)^m} \right)$ 后，为了简化乘积运算，我们对其取自然对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$。 首先，将似然函数写成连乘形式： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{m}{\theta} \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^{m-1} e^{-(t_i/\theta)^m}.$$ 取对数： $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left[ \frac{m}{\theta} \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^{m-1} e^{-(t_i/\theta)^m} \right].$$ 利用对数性质，将乘积转化为求和： $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln m - \ln \theta + (m-1) \ln \left( \frac{t_i}{\theta} \right) - \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m \right].$$ 进一步展开 $\ln \left( \frac{t_i}{\theta} \right) = \ln t_i - \ln \theta$，代入得： $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln m - \ln \theta + (m-1)(\ln t_i - \ln \theta) - \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m \right].$$ 合并同类项： $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln m - \ln \theta + (m-1)\ln t_i - (m-1)\ln \theta - \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m \right].$$ 将 $\ln \theta$ 的系数合并：$-\ln \theta - (m-1)\ln \theta = -m \ln \theta$，于是： $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln m - m \ln \theta + (m-1)\ln t_i - \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m \right].$$ 将求和号逐项展开： $$\ln L(\theta) = n \ln m - n m \ln \theta + (m-1) \sum_{i=1}^{n} \ln t_i - \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m.$$ 注意到 $\left( \frac{t_i}{\theta} \right)^m = t_i^m \theta^{-m}$，因此最后一项可写为 $\theta^{-m} \sum_{i=1}^{n} t_i^m$。最终得到： $$\ln L(\theta) = n \ln m - m n \ln \theta + (m-1) \sum_{i=1}^{n} \ln t_i - \theta^{-m} \sum_{i=1}^{n} t_i^m.$$ 此即为对数似然函数的完整表达式，为下一步对 $\theta$ 求导并令其为零做准备。

由步骤5得到的对数似然函数为： $$ \ln L(\theta) = m n \ln \theta - (m+1) \sum_{i=1}^n \ln t_i - \theta^{-m} \sum_{i=1}^n t_i^m. $$ 现在对 $\theta$ 求导。注意 $\ln L(\theta)$ 中第二项不含 $\theta$，导数为零。第一项 $m n \ln \theta$ 对 $\theta$ 的导数为 $\frac{m n}{\theta}$。第三项 $-\theta^{-m} \sum t_i^m$ 可写为 $-\sum t_i^m \cdot \theta^{-m}$，对 $\theta$ 求导得： $$ -\sum t_i^m \cdot (-m) \theta^{-m-1} = m \theta^{-(m+1)} \sum t_i^m. $$ 因此，对数似然函数的导数为： $$ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{m n}{\theta} + m \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m. $$ 令导数为零，得到似然方程： $$ \frac{m n}{\theta} + m \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m = 0. $$ 两边同时除以 $m$（$m>0$），得： $$ \frac{n}{\theta} + \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m = 0. $$ 将第一项移到等号右边： $$ \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m = -\frac{n}{\theta}. $$ 两边乘以 $\theta^{m+1}$： $$ \sum_{i=1}^n t_i^m = -n \theta^{m}. $$ 由于 $\theta>0$，$t_i>0$，左边为正，右边为负，这显然矛盾。检查发现，原对数似然函数第三项符号有误。正确形式应为： $$ \ln L(\theta) = m n \ln \theta - (m+1) \sum \ln t_i - \theta^{-m} \sum t_i^m. $$ 实际上，在步骤5中，似然函数为 $L(\theta) = \theta^{m n} \left(\prod t_i\right)^{-(m+1)} e^{-\theta^{-m} \sum t_i^m}$，取对数后第三项为 $-\theta^{-m} \sum t_i^m$。求导后第三项导数为 $m \theta^{-(m+1)} \sum t_i^m$，但注意原第三项是负号，所以导数应为 $+ m \theta^{-(m+1)} \sum t_i^m$。因此正确导数为： $$ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{m n}{\theta} - m \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m. $$ 令其为零： $$ \frac{m n}{\theta} - m \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m = 0. $$ 除以 $m$： $$ \frac{n}{\theta} - \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m = 0. $$ 移项： $$ \frac{n}{\theta} = \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m. $$ 两边乘以 $\theta^{m+1}$： $$ n \theta^{m} = \sum_{i=1}^n t_i^m. $$ 解得： $$ \hat{\theta} = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n t_i^m \right)^{1/m}. $$ 此即 $\theta$ 的极大似然估计量。

由步骤6得到的似然方程： $$\frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^n \frac{m t_i^{m-1}}{\theta^m} = 0$$ 整理得： $$\frac{n}{\theta} = \frac{m}{\theta^m} \sum_{i=1}^n t_i^{m-1}$$ 两边乘以$\theta^m$： $$n \theta^{m-1} = m \sum_{i=1}^n t_i^{m-1}$$ 解得： $$\theta^{m-1} = \frac{m}{n} \sum_{i=1}^n t_i^{m-1}$$ 但注意，这里$t_i$是样本观测值，而似然函数中$t_i$实际对应$x_i$（原始样本）。回顾步骤2中定义的$t_i = x_i^m$，因此$t_i^{m-1} = (x_i^m)^{m-1} = x_i^{m(m-1)}$，这会导致形式复杂。实际上，更简洁的做法是直接对参数$\theta^m$进行估计。 重新审视似然函数： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{m x_i^{m-1}}{\theta^m} e^{-x_i^m/\theta^m}$$ 取对数后： $$\ln L = n \ln m + (m-1)\sum \ln x_i - n m \ln \theta - \frac{1}{\theta^m} \sum x_i^m$$ 令$\phi = \theta^m$，则$\ln L = n \ln m + (m-1)\sum \ln x_i - n \ln \phi - \frac{1}{\phi} \sum x_i^m$。 对$\phi$求导并令为0： $$-\frac{n}{\phi} + \frac{1}{\phi^2} \sum x_i^m = 0$$ 解得： $$\hat{\phi} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m$$ 即： $$\hat{\theta}^m = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m$$ 因此，$\theta$的最大似然估计量为： $$\hat{\theta} = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m \right)^{1/m}$$ 最终答案验证：该估计量是样本$m$次幂的均值的$m$次方根，符合Weibull分布参数估计的经典结果。由于$m$已知，该估计量是$\theta$的相合估计。