📋 详细解题步骤
目标：分解目标事件
设事件 $A, B, C$ 为三个随机事件，我们关心的事件为“恰有一个事件发生”。这意味着在 $A, B, C$ 中，恰好有一个发生，其余两个不发生。该事件可以分解为三个互斥的子事件之和：
1. 事件 $A$ 发生，而 $B$ 和 $C$ 都不发生：$A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$。
2. 事件 $B$ 发生，而 $A$ 和 $C$ 都不发生：$\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$。
3. 事件 $C$ 发生，而 $A$ 和 $B$ 都不发生：$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$。
由于这三个子事件两两互斥（因为任何两个子事件同时成立会要求同一个事件既发生又不发生），所以“恰有一个事件发生”的概率等于这三个互斥事件概率之和：
$$P(\text{恰有一个发生}) = P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) + P(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) + P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C).$$
在后续步骤中，我们将利用已知条件（如各事件的概率及相互独立性或相关性）分别计算这三个概率，并最终求和得到答案。
公式：$$P(\text{恰有一个发生}) = P(A \overline{B} \overline{C}) + P(\overline{A} B \overline{C}) + P(\overline{A} \overline{B} C)$$
提示：将复杂事件分解为互斥子事件是概率计算的基本方法，注意检查是否覆盖所有可能。
目标：由P(AB)=0及ABC⊆AB，推出P(ABC)=0。
已知条件为$P(AB)=0$，并且事件$ABC$是事件$AB$的子集，即$ABC \subseteq AB$。根据概率的单调性，对于任意两个事件$A$和$B$，若$A \subseteq B$，则有$0 \leq P(A) \leq P(B)$。因此，将$ABC$视为$A$，$AB$视为$B$，可得：
$$0 \leq P(ABC) \leq P(AB)$$
而$P(AB)=0$，代入不等式得：
$$0 \leq P(ABC) \leq 0$$
由夹逼准则可知，$P(ABC)$必须等于$0$。故结论成立：$P(ABC)=0$。
公式：$$0 \leq P(ABC) \leq P(AB)=0 \Rightarrow P(ABC)=0$$
提示：利用子集关系与概率单调性，结合已知概率值，由夹逼得到零概率。
目标：计算P(A且非B且非C)
本步骤的目标是计算事件$A$发生而$B$和$C$均不发生的概率，即$P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C})$。
首先，利用事件分解关系，将$A$分解为互不相交的三部分：
$$A = (A \cap B) \cup (A \cap C \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B} \cap \overline{C})$$
但更常用的公式是：
$$P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$
这是因为$A \cap \overline{B} \cap \overline{C} = A \setminus [(A \cap B) \cup (A \cap C)]$，且$(A \cap B)$与$(A \cap C)$有重叠部分$A \cap B \cap C$，由容斥原理即得上式。
代入已知数据：
- $P(A) = \frac{1}{4}$
- $P(A \cap B) = 0$（由题目条件可知$A$与$B$互斥）
- $P(A \cap C) = \frac{1}{12}$（由题目条件给出）
- $P(A \cap B \cap C) = 0$（因为$A \cap B = \varnothing$，故三事件同时发生概率为0）
计算得：
$$P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = \frac{1}{4} - 0 - \left(\frac{1}{12} - 0\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$
因此，$P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = \frac{1}{6}$。
公式：P(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)
提示：利用容斥原理将复杂事件分解为已知概率的简单事件之和。
目标：计算P(非A且B且非C)
我们需要计算事件“非A且B且非C”的概率，即$P(\overline{A} B \overline{C})$。根据集合的运算，事件$B$可以分解为互不相交的部分：$B = (A B C) \cup (A B \overline{C}) \cup (\overline{A} B C) \cup (\overline{A} B \overline{C})$。因此，概率的加法公式给出：
$$P(B) = P(ABC) + P(AB\overline{C}) + P(\overline{A}BC) + P(\overline{A}B\overline{C})$$
我们已知$P(B) = \frac{1}{4}$，并且由前几步已求得$P(AB) = 0$，$P(BC) = \frac{1}{12}$，$P(ABC) = 0$。注意$P(AB) = P(ABC) + P(AB\overline{C})$，因为$AB = (ABC) \cup (AB\overline{C})$且两者互斥。由$P(AB)=0$和$P(ABC)=0$可得$P(AB\overline{C})=0$。
类似地，$P(BC) = P(ABC) + P(\overline{A}BC)$，所以$P(\overline{A}BC) = P(BC) - P(ABC) = \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}$。
将以上结果代入$P(B)$的分解式：
$$\frac{1}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{12} + P(\overline{A}B\overline{C})$$
解得：
$$P(\overline{A}B\overline{C}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$
因此，$P(\overline{A} B \overline{C}) = \frac{1}{6}$。
公式：$$P(\overline{A}B\overline{C}) = P(B) - P(AB) - [P(BC) - P(ABC)] = \frac{1}{4} - 0 - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$
提示：将事件B分解为四个互斥部分，利用已知概率逐步求解。
目标：计算P(非A且非B且C)
我们需要计算事件“非A且非B且C”的概率，即$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$。根据集合运算的分配律，该事件可以表示为$C$中除去与$A$或$B$相交的部分，即$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C = C - (A \cap C) - (B \cap C) + (A \cap B \cap C)$。因此概率为：
$$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(C) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$$
已知题目给出的数据：$P(C) = \frac{1}{4}$，$P(B \cap C) = \frac{1}{12}$，$P(A \cap C) = \frac{1}{6}$，$P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{12}$。代入公式：
$$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} + \frac{1}{12}.$$
先计算$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$，再减去$\frac{1}{12}$得$0$，最后加上$\frac{1}{12}$得$\frac{1}{12}$。因此结果为$\frac{1}{12}$。
注意：步骤概要中给出的表达式$P(C)-P(BC)-[P(AC)-P(ABC)]$与上述公式等价，因为$P(AC)-P(ABC)=P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$，代入后同样得到$\frac{1}{4} - \frac{1}{12} - (\frac{1}{6} - \frac{1}{12}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$。
公式：$$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(C) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$
提示：利用文氏图辅助理解，注意减去重叠部分时要加回多减的三重交集。
目标：求和得最终概率
本步骤将前几步计算得到的三个互斥事件的概率相加，得到所求的最终概率。
首先，回顾三个事件及其概率：
- 事件A：两球编号均小于3，概率为 $\frac{2}{12}$。
- 事件B：两球编号一个小于3、一个大于3，概率为 $\frac{2}{12}$。
- 事件C：两球编号均大于3，概率为 $\frac{1}{12}$。
由于这三个事件互斥（不可能同时发生），根据概率的加法公式，所求概率为三者之和：
$$P = \frac{2}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2+2+1}{12} = \frac{5}{12}.$$
因此，最终概率为 $\frac{5}{12}$。
**验证**：所有可能情况的总数为12（从4个球中取2个的组合数 $\binom{4}{2}=6$，但这里每个有序对视为一种情况，故为 $4\times3=12$），而满足条件的情况数为5（具体列举：$(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(3,4)$ 及其对称情况，注意 $(1,3)$ 和 $(3,1)$ 不满足条件，因为编号差为2），所以概率 $\frac{5}{12}$ 正确。
公式：$$P = \frac{2}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$$
提示：检查所有互斥事件是否已穷举，避免遗漏或重复。