💡 答案解析
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**解析**:
（B）
根据列维－林德伯格中心极限定理可得 $\displaystyle\sum_{i=1}^{100} X_{i}$ 近似服从 $N\left(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\sigma}^{2}\right)$ 的正态分布，
其中 $\boldsymbol{\mu}=E\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{100} X_{i}\right)=100 E(X)=100 \times \displaystyle\frac{1}{2}=50, \boldsymbol{\sigma}^{2}=D\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{100} X_{i}\right)=100 D(X)=100 \times \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{2}=25$ ，
$$
P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_{i} \leq 55\right}=P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{100} X_{i}-50}{\sqrt{25}} \leq \frac{55-50}{\sqrt{25}}\right}=P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{100} X_{i}-50}{\sqrt{25}} \leq 1\right}=\Phi(1) \text {, 故选(B). }
$$
二、填空题： $9 \sim 14$ 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸指定位置上．
📋 详细解题步骤
目标：确定总体分布及数字特征
根据题意，总体$X$服从两点分布（即伯努利分布），且$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$。因此，$X$的分布律为：
$$P(X=k)=\frac{1}{2},\quad k=0,1.$$
计算期望$E(X)$：
$$E(X)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
计算方差$D(X)$。首先计算$E(X^2)$：
$$E(X^2)=0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$
则方差为：
$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.$$
因此，总体$X$的期望$E(X)=\frac{1}{2}$，方差$D(X)=\frac{1}{4}$。
公式：$$E(X)=\frac{1}{2},\quad D(X)=\frac{1}{4}$$
提示：牢记两点分布期望为p，方差为p(1-p)，此处p=1/2。
目标：应用中心极限定理
根据列维-林德伯格中心极限定理，当样本容量$n$足够大时，独立同分布随机变量之和$S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$近似服从正态分布$N(n\mu, n\sigma^2)$。本题中，$X_i$服从参数为$p=\frac{1}{2}$的伯努利分布，故其期望$\mu = p = \frac{1}{2}$，方差$\sigma^2 = p(1-p) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。样本容量$n=100$，因此$S_n$近似服从正态分布$N(100 \times \frac{1}{2}, 100 \times \frac{1}{4}) = N(50, 25)$。即$S_n$的均值$\mu_{S_n}=50$，方差$\sigma_{S_n}^2=25$，标准差$\sigma_{S_n}=5$。这一近似为后续计算概率$P\{S_n \leq 45\}$提供了基础，通过将$S_n$标准化为标准正态变量$Z = \frac{S_n - 50}{5}$，即可利用标准正态分布表或函数求解。
公式：S_n \sim N(n\mu, n\sigma^2) = N(50, 25)
提示：注意区分正态分布的两个参数：均值与方差，而非标准差。
目标：标准化概率事件
本步骤的目标是将概率事件 $P(S_n \leq 55)$ 转化为标准正态分布的形式，以便利用标准正态分布表或数值计算。已知 $S_n$ 近似服从正态分布 $N(50, 25)$，即均值为 $\mu = 50$，方差为 $\sigma^2 = 25$，标准差为 $\sigma = 5$。
标准化过程的核心是减去均值并除以标准差，将任意正态分布转化为标准正态分布 $Z \sim N(0,1)$。具体操作如下：
对于事件 $S_n \leq 55$，两边同时减去均值 $50$，得到 $S_n - 50 \leq 55 - 50$，即 $S_n - 50 \leq 5$。
再将不等式两边同时除以标准差 $5$，得到 $\frac{S_n - 50}{5} \leq \frac{5}{5}$，即 $\frac{S_n - 50}{5} \leq 1$。
由于 $Z = \frac{S_n - 50}{5}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，因此原概率等价于：
$$P(S_n \leq 55) = P\left(\frac{S_n - 50}{5} \leq \frac{55 - 50}{5}\right) = P(Z \leq 1).$$
至此，我们将一个一般的正态分布概率问题转化为标准正态分布的累积概率问题，下一步即可通过查表或计算得到 $P(Z \leq 1)$ 的数值。
公式：$$P(S_n \leq 55) = P\left(\frac{S_n - 50}{5} \leq \frac{55 - 50}{5}\right) = P(Z \leq 1), \quad Z \sim N(0,1)$$
提示：标准化时务必先减均值再除标准差，注意分母是标准差而非方差。
目标：得出近似值并选择选项
由前一步骤已知，$Z = \frac{\overline{X} - 1}{\sigma/\sqrt{n}}$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$。我们需要计算 $P(Z \leq 1)$。根据标准正态分布的性质，$P(Z \leq 1) = \Phi(1)$，其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数。查标准正态分布表或利用常用近似值，$\Phi(1) \approx 0.8413$。因此，所求概率的近似值为 $0.8413$。对照题目给出的四个选项：
(A) $0.1587$
(B) $0.8413$
(C) $0.9772$
(D) $0.9987$
显然，$0.8413$ 对应选项 (B)。
**验证**：由于 $\Phi(1) = 1 - \Phi(-1)$，而 $\Phi(-1) \approx 0.1587$，故 $\Phi(1) \approx 0.8413$，与选项 (B) 一致。因此，正确答案为 (B)。
公式：$$P(Z \leq 1) = \Phi(1) \approx 0.8413$$
提示：熟记常用分位点：$\Phi(1)\approx0.8413$，$\Phi(2)\approx0.9772$，$\Phi(3)\approx0.9987$。