2021年考研数学一第10题

在假设检验中，第二类错误（Type II Error）是指当原假设 $H_0$ 实际上为假时，检验统计量的观测值却落在接受域内，从而错误地接受了 $H_0$ 的概率，通常记为 $\beta$。 本题中，原假设 $H_0: \mu = 11$，备择假设 $H_1: \mu = 11.5$。已知样本容量 $n=16$，总体方差 $\sigma^2 = 1$，显著性水平 $\alpha = 0.05$，拒绝域为 $\{ \bar{X} > 11 \}$，因此接受域为 $\{ \bar{X} \leq 11 \}$。 第二类错误发生的条件是：当 $H_0$ 为假（即真实均值 $\mu = 11.5$）时，样本均值 $\bar{X}$ 落入接受域 $\{ \bar{X} \leq 11 \}$。因此，第二类错误的概率为： $$\beta = P(\bar{X} \leq 11 \mid \mu = 11.5)$$ 由于总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且样本容量 $n=16$，样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布为： $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(\mu, \frac{1}{16}\right)$$ 当 $\mu = 11.5$ 时，$\bar{X} \sim N(11.5, 0.25)$，其中标准差 $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.25} = 0.5$。 因此，第二类错误的概率为： $$\beta = P\left( \bar{X} \leq 11 \mid \mu = 11.5 \right) = \Phi\left( \frac{11 - 11.5}{0.5} \right) = \Phi(-1)$$ 其中 $\Phi$ 为标准正态分布函数。查标准正态分布表得 $\Phi(-1) = 0.1587$。 所以，第二类错误的概率为 $\beta = 0.1587$。

已知总体 $X \sim N(\mu, 4)$，即总体方差 $\sigma^2 = 4$，总体标准差 $\sigma = 2$。样本容量 $n = 16$。根据抽样分布理论，当总体服从正态分布时，样本均值 $\bar{X}$ 也服从正态分布，且其数学期望等于总体均值，方差等于总体方差除以样本容量。因此，样本均值的分布为： $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(\mu, \frac{4}{16}\right) = N\left(\mu, \frac{1}{4}\right).$$ 所以样本均值的标准差为 $\sqrt{1/4} = 0.5$。这一分布是后续进行区间估计和假设检验的基础。

已知总体均值 $\mu = 11.5$，样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$，其中 $\sigma = 1$，$n = 4$，故 $\bar{X} \sim N(11.5, 0.5^2)$。需要计算概率 $P\{\bar{X} \leq 11\}$。 首先进行标准化处理，令 $Z = \frac{\bar{X} - 11.5}{0.5}$，则 $Z \sim N(0,1)$。于是： $$P\{\bar{X} \leq 11\} = P\left\{ \frac{\bar{X} - 11.5}{0.5} \leq \frac{11 - 11.5}{0.5} \right\} = P\{Z \leq -1\}.$$ 根据标准正态分布的对称性，$P\{Z \leq -1\} = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$。查标准正态分布表或利用已知数值，$\Phi(1) \approx 0.8413$，因此： $$P\{\bar{X} \leq 11\} = 1 - 0.8413 = 0.1587.$$ 至此，我们得到了在 $\mu = 11.5$ 条件下样本均值不超过11的概率为 $0.1587$。

经过前三步的推导，我们得到所求概率为 $1-\Phi(1)$。现在需要将此表达式与题目给出的四个选项进行匹配。 题目选项通常为： (A) $\Phi(1)$ (B) $1-\Phi(1)$ (C) $\Phi(2)$ (D) $1-\Phi(2)$ 显然，$1-\Phi(1)$ 与选项 (B) 完全一致。因此，正确答案为 (B)。 **验证**：由于 $\Phi(1)$ 是标准正态分布函数在 $x=1$ 处的值，$1-\Phi(1)$ 表示标准正态随机变量大于1的概率，即 $P\{X>1\}$。在本题的上下文中，该概率正是我们通过积分变换和正态分布性质计算出的结果，与选项 (B) 吻合，故选择 (B)。