2021年考研数学一第9题

首先，明确题目中给出的估计量 $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$，其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，$\bar{Y} = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}Y_j$。根据无偏性的定义，需要验证 $E(\hat{\theta}) = \theta$。 计算期望： $$E(\hat{\theta}) = E(\bar{X} - \bar{Y}) = E(\bar{X}) - E(\bar{Y})$$ 由于 $X_i \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，$Y_j \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，且样本独立，有 $E(\bar{X}) = \mu_1$，$E(\bar{Y}) = \mu_2$。因此 $$E(\hat{\theta}) = \mu_1 - \mu_2 = \theta$$ 所以 $E(\hat{\theta}) = \theta$ 成立，$\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。

设总体 $X$ 的方差为 $\sigma_1^2$，总体 $Y$ 的方差为 $\sigma_2^2$，且 $X$ 与 $Y$ 的协方差为 $\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2$。从总体中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\dots,(X_n,Y_n)$，样本均值定义为： $$ \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\quad \bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i. $$ 首先计算 $\bar{X}$ 的方差。由于样本独立同分布，且 $D(X_i)=\sigma_1^2$，利用方差的性质： $$ D(\bar{X})=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n D(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma_1^2=\frac{\sigma_1^2}{n}. $$ 同理，$\bar{Y}$ 的方差为： $$ D(\bar{Y})=\frac{\sigma_2^2}{n}. $$ 接下来计算 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 的协方差。利用协方差的双线性性质： $$ \operatorname{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\operatorname{Cov}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\operatorname{Cov}(X_i,Y_j). $$ 由于不同观测之间相互独立，当 $i\neq j$ 时，$\operatorname{Cov}(X_i,Y_j)=0$；当 $i=j$ 时，$\operatorname{Cov}(X_i,Y_i)=\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2$。因此： $$ \operatorname{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot\rho\sigma_1\sigma_2=\frac{\rho\sigma_1\sigma_2}{n}. $$ 综上，样本均值的方差和协方差分别为： $$ D(\bar{X})=\frac{\sigma_1^2}{n},\quad D(\bar{Y})=\frac{\sigma_2^2}{n},\quad \operatorname{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\frac{\rho\sigma_1\sigma_2}{n}. $$

已知估计量 $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$，其中 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别是来自两个正态总体的样本均值。根据方差的性质，对于两个随机变量之和（或差）的方差，有公式： $$D(\hat{\theta}) = D(\bar{X} - \bar{Y}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) - 2\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$$ 首先计算 $D(\bar{X})$。由于 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 的方差为： $$D(\bar{X}) = \frac{\sigma_1^2}{n}$$ 同理，$Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ 来自总体 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，样本均值 $\bar{Y}$ 的方差为： $$D(\bar{Y}) = \frac{\sigma_2^2}{n}$$ 接下来计算协方差 $\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$。由于两个样本是独立的，且 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别由不同的独立样本构成，因此 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 相互独立，协方差为0。但题目中给出的条件是 $X_i$ 与 $Y_i$ 之间存在相关性，相关系数为 $\rho$，且 $X_i$ 与 $Y_j$（$i \neq j$）独立。因此需要仔细计算： $$\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = \operatorname{Cov}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i, Y_j)$$ 由于当 $i \neq j$ 时，$X_i$ 与 $Y_j$ 独立，协方差为0；当 $i = j$ 时，$\operatorname{Cov}(X_i, Y_i) = \rho \sigma_1 \sigma_2$。因此： $$\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \rho \sigma_1 \sigma_2 = \frac{n \rho \sigma_1 \sigma_2}{n^2} = \frac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$$ 代入方差公式： $$D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n} - 2 \cdot \frac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n} = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$$ 因此，$\hat{\theta}$ 的方差为 $\frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$。

根据前几步的推导，我们已经得到了两个估计量$\hat{\theta}_1$和$\hat{\theta}_2$的无偏性结论以及它们的方差表达式。具体而言： - $\hat{\theta}_1$是$\theta$的无偏估计，其方差为$D(\hat{\theta}_1) = \frac{\theta^2}{n}$。 - $\hat{\theta}_2$也是$\theta$的无偏估计，其方差为$D(\hat{\theta}_2) = \frac{\theta^2}{n-1}$。 由于$n \geq 2$，显然有$\frac{\theta^2}{n} < \frac{\theta^2}{n-1}$，即$D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2)$。因此，在无偏估计中，方差较小的估计量更有效，故$\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效。 现在对比题目给出的选项： A. $\hat{\theta}_1$是$\theta$的无偏估计，$\hat{\theta}_2$是$\theta$的有偏估计 B. $\hat{\theta}_1$是$\theta$的有偏估计，$\hat{\theta}_2$是$\theta$的无偏估计 C. $\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效 D. $\hat{\theta}_2$比$\hat{\theta}_1$更有效 根据我们的结论：两个估计量都是无偏的，且$\hat{\theta}_1$的方差更小，因此$\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效。这与选项C完全一致。 最终验证： - 无偏性：$E(\hat{\theta}_1) = \theta$，$E(\hat{\theta}_2) = \theta$，两者均无偏，排除A、B。 - 有效性：$D(\hat{\theta}_1) = \frac{\theta^2}{n}$，$D(\hat{\theta}_2) = \frac{\theta^2}{n-1}$，由于$n \geq 2$，$\frac{1}{n} < \frac{1}{n-1}$，故$D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2)$，$\hat{\theta}_1$更有效，排除D。 因此，正确答案为C。