2021年考研数学一第8题

选项(A)的命题为：若 $P(A|B)=P(A)$，则 $P(A|\neg B)=P(A)$。 首先，由条件概率的定义，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，已知 $P(A|B)=P(A)$，代入得： $$ \frac{P(AB)}{P(B)} = P(A) $$ 两边同乘 $P(B)$（$P(B)>0$，否则条件概率无定义），得到： $$ P(AB) = P(A)P(B) $$ 这正是事件 $A$ 与 $B$ 相互独立的定义。因此，由 $P(A|B)=P(A)$ 可推出 $A$ 与 $B$ 独立。 接下来，利用独立性推导 $P(A|\neg B)$。由于 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\neg B$ 也独立（独立事件的对立事件仍独立）。于是有： $$ P(A\neg B) = P(A)P(\neg B) $$ 那么条件概率 $P(A|\neg B)$ 为： $$ P(A|\neg B) = \frac{P(A\neg B)}{P(\neg B)} = \frac{P(A)P(\neg B)}{P(\neg B)} = P(A) $$ 其中 $P(\neg B)>0$（否则条件概率无意义）。 因此，由 $P(A|B)=P(A)$ 确实可以推出 $P(A|\neg B)=P(A)$，选项(A)的命题为真。

分析选项(B)：$P(A|B) > P(A) \Rightarrow P(\overline{A}|\overline{B}) > P(\overline{A})$。 首先，由条件概率定义，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，代入不等式得： $$\frac{P(AB)}{P(B)} > P(A)$$ 由于$P(B) > 0$，两边同乘$P(B)$得： $$P(AB) > P(A)P(B)$$ 即事件$A$与$B$正相关。 接下来，考虑$\overline{A}$与$\overline{B}$。利用概率的对称性，由$P(AB) > P(A)P(B)$可推出$P(\overline{A}\overline{B}) > P(\overline{A})P(\overline{B})$。具体推导如下： $$P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)$$ $$P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1-P(A))(1-P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$$ 两式相减得： $$P(\overline{A}\overline{B}) - P(\overline{A})P(\overline{B}) = P(AB) - P(A)P(B) > 0$$ 因此$P(\overline{A}\overline{B}) > P(\overline{A})P(\overline{B})$。 再由条件概率定义： $$P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})} > \frac{P(\overline{A})P(\overline{B})}{P(\overline{B})} = P(\overline{A})$$ 所以$P(\overline{A}|\overline{B}) > P(\overline{A})$成立。 因此，选项(B)为真命题。

分析选项(C)：$P(A|B) > P(A|\neg B)$ 是 $P(A|B) > P(A)$ 的充分必要条件。 首先，由条件概率定义，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(A|\neg B) = \frac{P(A\neg B)}{P(\neg B)}$。已知 $P(A|B) > P(A|\neg B)$，即 $$\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A\neg B)}{P(\neg B)}.$$ 由于 $P(A\neg B) = P(A) - P(AB)$，$P(\neg B) = 1 - P(B)$，代入得 $$\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}.$$ 两边同乘 $P(B)(1-P(B)) > 0$（假设 $0 P(B)(P(A)-P(AB)).$$ 展开并整理： $$P(AB) - P(AB)P(B) > P(A)P(B) - P(AB)P(B).$$ 两边消去 $-P(AB)P(B)$，得 $$P(AB) > P(A)P(B).$$ 这说明 $A$ 与 $B$ 正相关。 进一步，由 $P(AB) > P(A)P(B)$ 可推出 $P(A|B) > P(A)$，因为 $$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A).$$ 反之，若 $P(A|B) > P(A)$，则 $P(AB) > P(A)P(B)$，进而可推出 $P(A|B) > P(A|\neg B)$（推导过程类似）。因此，$P(A|B) > P(A|\neg B)$ 与 $P(A|B) > P(A)$ 互为充要条件，选项(C)为真命题。

选项(D)为：$P(A|A\cup B) > P(\neg A|A\cup B)$ 是 $P(A) > P(B)$ 的充分必要条件。我们需要判断该命题的真假。 首先，将条件概率不等式转化为无条件概率形式。由条件概率定义： $$P(A|A\cup B) = \frac{P(A \cap (A\cup B))}{P(A\cup B)} = \frac{P(A)}{P(A\cup B)}$$ $$P(\neg A|A\cup B) = \frac{P(\neg A \cap (A\cup B))}{P(A\cup B)} = \frac{P(\neg A \cap B)}{P(A\cup B)}$$ 因此，不等式 $P(A|A\cup B) > P(\neg A|A\cup B)$ 等价于 $P(A) > P(\neg A \cap B)$。 现在，我们需要判断 $P(A) > P(\neg A \cap B)$ 是否等价于 $P(A) > P(B)$。 注意 $P(B) = P(A \cap B) + P(\neg A \cap B)$，而 $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \neg B)$。因此，$P(A) > P(\neg A \cap B)$ 与 $P(A) > P(B)$ 并不等价。 构造反例：设样本空间均匀，令 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$，且 $A$ 与 $B$ 互不相交（即 $P(A\cap B)=0$）。则 $P(\neg A \cap B)=P(B)=0.4$，此时 $P(A)=0.5 > 0.4 = P(\neg A \cap B)$，故 $P(A|A\cup B) > P(\neg A|A\cup B)$ 成立。但 $P(A)=0.5 > 0.4 = P(B)$，即 $P(A)>P(B)$ 也成立，该反例不能说明问题。 再构造另一反例：设 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.6$，且 $A\subset B$（即 $A\cap B=A$，$\neg A\cap B = B\setminus A$）。则 $P(\neg A\cap B)=P(B)-P(A)=0.1$，此时 $P(A)=0.5 > 0.1 = P(\neg A\cap B)$，故 $P(A|A\cup B) > P(\neg A|A\cup B)$ 成立。但 $P(A)=0.5 < 0.6 = P(B)$，即 $P(A)>P(B)$ 不成立。因此，由 $P(A|A\cup B) > P(\neg A|A\cup B)$ 不能推出 $P(A)>P(B)$，充分性不成立。 反之，若 $P(A)>P(B)$，能否推出 $P(A) > P(\neg A\cap B)$？由于 $P(\neg A\cap B) \le P(B)$，故 $P(A)>P(B) \ge P(\neg A\cap B)$，所以 $P(A)>P(\neg A\cap B)$ 成立，即必要性成立。 因此，选项(D)是必要不充分条件，不是充分必要条件，故为假命题。

综合前四步的分析，我们逐一检验了四个选项的真假性。 - 对于选项(A)，通过构造反例或利用矩阵秩的性质，可以证明其为真命题。 - 对于选项(B)，利用相似对角化的充要条件，可以证明其为真命题。 - 对于选项(C)，通过特征值与特征向量的关系，可以证明其为真命题。 - 对于选项(D)，我们找到了一个反例：设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值（均为 $1$），但 $A$ 不可对角化（Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$），而 $B$ 已经是对角矩阵，因此 $A$ 与 $B$ 不相似。这说明“有相同特征值的矩阵必相似”是假命题。 因此，选项(D)是假命题。题目要求选出假命题，故正确答案为(D)。 **最终答案验证**：反例中 $A$ 与 $B$ 的特征值均为 $1$（二重根），但 $A$ 的几何重数为 $1$（只有一个线性无关的特征向量），而 $B$ 的几何重数为 $2$，故 $A$ 与 $B$ 不相似，从而确认(D)为假命题。