2021年考研数学一第15题

题目条件给出矩阵 $A$ 的每行元素之和均为 2。设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（本题中 $n=3$），则对任意行 $i$，有 $a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}=2$。考虑向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^T$，计算 $A\boldsymbol{\alpha}$ 的第 $i$ 个分量：$(A\boldsymbol{\alpha})_i = a_{i1}\cdot1 + a_{i2}\cdot1 + a_{i3}\cdot1 = a_{i1}+a_{i2}+a_{i3} = 2$。因此 $A\boldsymbol{\alpha} = (2,2,2)^T = 2\boldsymbol{\alpha}$。由特征值与特征向量的定义，$\boldsymbol{\alpha}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda=2$ 的特征向量。这一关系是后续解题的基础，它将矩阵行和条件转化为特征信息，从而可以利用特征值的性质（如迹等于特征值之和、行列式等于特征值之积）来求解未知参数。

已知矩阵 $A$ 有一个特征值 $\lambda = 2$，对应的特征向量为 $(1,1,1)^T$，即满足 $A(1,1,1)^T = 2(1,1,1)^T$。同时，题目中涉及伴随矩阵 $A^*$ 与 $A$ 的关系：$A^*A = |A|E$。将特征向量关系代入该恒等式，有： $$A^* \big( A(1,1,1)^T \big) = A^* \big( 2(1,1,1)^T \big) = |A| (1,1,1)^T.$$ 左边可改写为 $2A^*(1,1,1)^T$，因此得到 $$2A^*(1,1,1)^T = |A| (1,1,1)^T.$$ 此式表明，向量 $(1,1,1)^T$ 也是伴随矩阵 $A^*$ 的一个特征向量，对应的特征值为 $\frac{|A|}{2}$。这一步将已知的特征向量关系与伴随矩阵的性质结合，为后续利用特征值计算行列式 $|A|$ 奠定了基础。

由前一步骤已知，对于矩阵$A$，有$A^*A = |A|E$，且题目条件给出$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$。将$A^*$左乘等式两边，得： $$A^*A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = A^*\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} = 2A^*\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$ 另一方面，利用$A^*A = |A|E$，有： $$A^*A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = |A|E\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = |A|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$ 因此得到： $$2A^*\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = |A|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$ 即： $$A^*\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \frac{|A|}{2}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$ 设$A^*$的元素为$a_{ij}^*$，则$A^*\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$的结果是一个三维列向量，其第$i$个分量为$\sum_{j=1}^3 a_{ij}^*$，即$A^*$的第$i$行元素之和。而等式右边$\frac{|A|}{2}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$的三个分量均为$\frac{|A|}{2}$。因此，对于$i=1,2,3$，有： $$\sum_{j=1}^3 a_{ij}^* = \frac{|A|}{2}$$ 这表明$A^*$的每一行元素之和都等于$\frac{|A|}{2}$。

已知矩阵$A$的行列式$|A|=3$，且$A$为3阶矩阵。根据伴随矩阵的性质，有$AA^* = |A|E$，即$AA^* = 3E$。设$A^*$的第一列元素为$A_{11}, A_{21}, A_{31}$，则$A^*$的第一列元素之和为$A_{11}+A_{21}+A_{31}$。 由$AA^* = 3E$，取等式两边矩阵的第一行第一列元素，得： $$ a_{11}A_{11} + a_{12}A_{21} + a_{13}A_{31} = 3. $$ 但题目中已知$A^*$的每行元素之和为$\frac{3}{2}$，即对于$A^*$的任意一行，该行三个元素之和为$\frac{3}{2}$。特别地，$A^*$的第一行元素之和为$A_{11}+A_{12}+A_{13} = \frac{3}{2}$。 然而，我们需要求的是$A_{11}+A_{21}+A_{31}$，这是$A^*$第一列元素之和，而非第一行。注意：$A^*$的转置$(A^*)^T$中，第一行元素之和对应原$A^*$的第一列元素之和。由于$A^*$的每行元素之和为$\frac{3}{2}$，那么$(A^*)^T$的每行元素之和也为$\frac{3}{2}$（因为转置不改变行和与列和的对应关系，但这里需要小心：原$A^*$的行和是$\frac{3}{2}$，转置后$(A^*)^T$的行和就是原$A^*$的列和）。因此，$A^*$的第一列元素之和等于$(A^*)^T$的第一行元素之和，而$(A^*)^T$的每行元素之和也是$\frac{3}{2}$，所以$A_{11}+A_{21}+A_{31} = \frac{3}{2}$。 另一种更直接的思路：由$AA^* = 3E$，将等式两边取转置得$(A^*)^T A^T = 3E$。设$B = (A^*)^T$，则$B$的每行元素之和为$\frac{3}{2}$（因为$A^*$每行和为$\frac{3}{2}$，转置后$B$每行和不变）。而$B$的第一行元素之和正是$A_{11}+A_{21}+A_{31}$，故答案为$\frac{3}{2}$。 因此，代入数值得到最终答案： $$ A_{11}+A_{21}+A_{31} = \frac{3}{2}. $$ 验证：由于$|A|=3$，且$A^*$的每行元素之和为$\frac{3}{2}$，而$A_{11}+A_{21}+A_{31}$是$A^*$第一列元素之和，由对称性（或转置性质）可知其值也为$\frac{3}{2}$，结果合理。