💡 答案解析
**答案**: $\displaystyle\frac{1}{5}$
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**解析**:
$(X, Y)$ 的可能取值为 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ ，
$P\{X=0, Y=0\}=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{3}{10}$ ，
$P\{X=0, Y=1\}=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\frac{1}{5}$,
$P\{X=1, Y=0\}=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\frac{1}{5}$,
$P\{X=1, Y=1\}=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{3}{10}$,
由 $X \sim\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}\end{array}\right)$ 得 $E(X)=\displaystyle\frac{1}{2}, E\left(X^{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}, D(X)=\displaystyle\frac{1}{4}$ ；
由 $Y \sim\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}\end{array}\right)$ 得 $E(Y)=\displaystyle\frac{1}{2}, E\left(Y^{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}, D(Y)=\displaystyle\frac{1}{4}$ ；
由 $X Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \displaystyle\frac{7}{10} & \displaystyle\frac{3}{10}\end{array}\right)$ 得 $E(X Y)=\displaystyle\frac{3}{10}$ ，
$\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=\displaystyle\frac{3}{10}-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{20}$ ，则 $\rho_{X Y}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{20}}{\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{1}{5}$ 。
## 三、解答题
## （17）【解】方法一
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+\displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\displaystyle\frac{1}{\sin x}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\left(1+\displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right) \sin x-\mathrm{e}^{x}+1}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \sin x}$
📋 详细解题步骤
目标：确定(X,Y)所有可能取值
根据题目描述，从装有2个红球和2个白球的袋中不放回地依次随机取两个球。设随机变量$X$表示第一次取到红球的个数（即第一次取到红球时$X=1$，否则$X=0$），$Y$表示第二次取到红球的个数（即第二次取到红球时$Y=1$，否则$Y=0$）。由于每次取球的结果只有“红球”或“白球”两种可能，因此$X$和$Y$各自只能取$0$或$1$。于是，二维随机变量$(X,Y)$的所有可能取值共有四种组合：
- 第一次取到白球且第二次取到白球：$(X,Y)=(0,0)$；
- 第一次取到白球且第二次取到红球：$(X,Y)=(0,1)$；
- 第一次取到红球且第二次取到白球：$(X,Y)=(1,0)$；
- 第一次取到红球且第二次取到红球：$(X,Y)=(1,1)$。
因此，$(X,Y)$的取值空间为$\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$。
公式：\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}
提示：明确每次取球只有红白两种结果，因此每个变量只能取0或1。
目标：计算联合分布概率
根据题目条件，随机变量$X$与$Y$相互独立，且已知边缘分布：$P(X=0)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$；$P(Y=0)=\frac{3}{5}$，$P(Y=1)=\frac{2}{5}$。由于独立性，联合分布概率等于对应边缘概率的乘积。因此，逐一计算四种组合：
1. 当$X=0, Y=0$时：
$$P(X=0, Y=0) = P(X=0) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$$
2. 当$X=0, Y=1$时：
$$P(X=0, Y=1) = P(X=0) \cdot P(Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
3. 当$X=1, Y=0$时：
$$P(X=1, Y=0) = P(X=1) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
4. 当$X=1, Y=1$时：
$$P(X=1, Y=1) = P(X=1) \cdot P(Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$$
验证所有概率之和：$\frac{3}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$，符合概率归一性。
公式：P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)
提示：独立时联合概率等于边缘概率乘积，计算后务必验证总和为1。
目标：求X和Y的边缘分布及期望方差
由二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律可知，$X$和$Y$各自只能取0或1。首先求$X$的边缘分布。将联合分布中所有$X=0$的概率相加：$P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。将联合分布中所有$X=1$的概率相加：$P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$。因此$X$服从参数为$n=1$，$p=\frac{1}{2}$的二项分布，即$X\sim B(1,\frac{1}{2})$。
同理，求$Y$的边缘分布。将联合分布中所有$Y=0$的概率相加：$P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。将联合分布中所有$Y=1$的概率相加：$P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$。因此$Y$也服从$B(1,\frac{1}{2})$。
对于二项分布$B(1,p)$，其期望为$p$，方差为$p(1-p)$。这里$p=\frac{1}{2}$，故$E(X)=\frac{1}{2}$，$D(X)=\frac{1}{2}\times(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$。同理，$E(Y)=\frac{1}{2}$，$D(Y)=\frac{1}{4}$。
因此，$X$和$Y$的边缘分布均为$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$，$P(Y=0)=P(Y=1)=\frac{1}{2}$；期望均为$\frac{1}{2}$，方差均为$\frac{1}{4}$。
公式：$$X\sim B\left(1,\frac{1}{2}\right),\quad Y\sim B\left(1,\frac{1}{2}\right)$$ $$E(X)=E(Y)=\frac{1}{2},\quad D(X)=D(Y)=\frac{1}{4}$$
提示：注意联合分布中只有两个非零概率，分别对应(X=0,Y=1)和(X=1,Y=0)。
目标：求XY的分布及期望
首先，确定随机变量$XY$的可能取值。由于$X$和$Y$均只取0或1，因此$XY$也只可能取0或1。具体地，$XY=1$当且仅当$X=1$且$Y=1$；否则$XY=0$。
根据前序步骤已求得的联合分布，已知$P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$，因此$P(XY=1)=\frac{3}{10}$。于是$P(XY=0)=1-P(XY=1)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。
所以$XY$的分布律为：
$$P(XY=0)=\frac{7}{10},\quad P(XY=1)=\frac{3}{10}.$$
根据离散型随机变量数学期望的定义，$E(XY)=\sum_{k} k \cdot P(XY=k)$，代入得：
$$E(XY)=0\times\frac{7}{10}+1\times\frac{3}{10}=\frac{3}{10}.$$
因此，$XY$的期望为$\frac{3}{10}$。
公式：$$E(XY)=0\times P(XY=0)+1\times P(XY=1)=\frac{3}{10}$$
提示：注意XY=1仅当X和Y同时为1，利用联合概率直接计算。
目标：计算协方差
本步骤的目标是计算随机变量 $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y)$。协方差的定义公式为 $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。在前面的步骤中，我们已经求得了 $E(X)=\frac{1}{2}$，$E(Y)=\frac{1}{2}$，以及 $E(XY)=\frac{3}{10}$。将这些数值代入协方差公式：
$$
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{3}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}.
$$
将两个分数通分，分母取最小公倍数20：$\frac{3}{10}=\frac{6}{20}$，$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，因此
$$
\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{6}{20}-\frac{5}{20}=\frac{1}{20}.
$$
所以，$X$ 与 $Y$ 的协方差为 $\frac{1}{20}$。协方差为正，表明 $X$ 与 $Y$ 之间存在正相关关系。
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$
提示：计算协方差时，务必先分别求出 $E(XY)$、$E(X)$ 和 $E(Y)$，再代入公式。
目标：计算相关系数
本步骤的目标是计算随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$。相关系数的定义为 $\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $\operatorname{Cov}(X,Y)$ 是协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
由前序步骤已求得：
- 协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{1}{20}$
- 方差 $D(X) = \frac{1}{2}$
- 方差 $D(Y) = \frac{1}{2}$
代入公式：
$$
\rho_{XY} = \frac{\frac{1}{20}}{\sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{20}}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{20} \times 2 = \frac{1}{5}.
$$
因此，相关系数 $\rho_{XY} = \frac{1}{5}$。
最终答案验证：相关系数的取值范围为 $[-1,1]$，$\frac{1}{5}=0.2$ 在此范围内，且为正相关，符合逻辑。同时，检查计算过程：分母 $\sqrt{D(X)D(Y)} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$，分子 $\frac{1}{20}$，比值 $\frac{1/20}{1/2} = \frac{1}{20} \times 2 = \frac{1}{10} \times 1 = \frac{1}{5}$，无误。
公式：\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = \frac{1/20}{\sqrt{(1/2)(1/2)}} = \frac{1}{5}
提示：代入数值时先化简分母中的乘积再开方，可减少计算错误。