2004年考研数学一第13题
📝 题目
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0\lt\alpha\lt 1)$ ，数 $u_{\alpha}$ 满足 $P\left\{X\gt u_{\alpha}\right\}=\alpha$ 。若 $P\{|X|\lt x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于（ ）
A
$u_{\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$ ．
B
$u_{1-\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$ ．
C
$u_{\displaystyle \frac{1-\alpha}{2}}$ ．
D
$u_{1-\alpha}$ ．
💡 答案解析
**答案**: （C）．
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**解析**:
由 $P\{|X|\lt x\}=1-P\{|X| \geqslant x\}=1-2 P\{X \geqslant x\}=\alpha$ ，得 $P\{X \geqslant x\}=\displaystyle\frac{1-\alpha}{2}$ ．再由 $P\left\{X\gt u_{\alpha}\right}=\alpha$ ，得 $x=u_{\displaystyle\frac{1-\alpha}{2}}$ ，应选（C）．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解分位数定义与概率关系
题目中提到随机变量 $X \sim N(0,1)$，即服从标准正态分布。我们需要找到常数 $x$ 使得 $P\{|X| < x\} = \alpha$。
根据标准正态分布的对称性，有：
$$P\{|X| < x\} = P\{-x < X < x\} = \Phi(x) - \Phi(-x) = \Phi(x) - (1 - \Phi(x)) = 2\Phi(x) - 1 = \alpha.$$
因此，$$\Phi(x) = \frac{1+\alpha}{2}$$，即 $x = u_{\frac{1+\alpha}{2}}$，其中 $u_p$ 表示标准正态分布的 $p$ 分位数。
另一方面，题目给出 $P\{X > u_{\alpha}\} = \alpha$。根据标准正态分布的性质，$P\{X > u_p\} = 1 - \Phi(u_p) = p$，所以 $u_{\alpha}$ 满足 $\Phi(u_{\alpha}) = 1 - \alpha$。
因此，要使得 $P\{|X| < x\} = P\{X > u_{\alpha}\}$，即：
$$2\Phi(x) - 1 = \alpha \quad \text{且} \quad \Phi(u_{\alpha}) = 1 - \alpha.$$
将 $\Phi(x) = \frac{1+\alpha}{2}$ 与 $\Phi(u_\alpha}) = 1 - \alpha$ 对比，发现没有直接相等关系，需要继续推导。
公式：$$P\{|X| < x\} = 2\Phi(x) - 1 = \alpha \Rightarrow x = u_{\frac{1+\alpha}{2}}$$
提示：记住：$P\{|X| < x\} = 2\Phi(x) - 1$，$P\{X > u_p\} = p$。
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