2004年考研数学一第12题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 的任意两个非零矩阵，则必有（）

$\mathbf{A}$ 的列向量组线性相关， $\mathbf{B}$ 的行向量组线性相关。

$\mathbf{A}$ 的列向量组线性相关， $\mathbf{B}$ 的列向量组线性相关．

$\mathbf{A}$ 的行向量组线性相关， $\mathbf{B}$ 的行向量组线性相关。

$\mathbf{A}$ 的行向量组线性相关， $\mathbf{B}$ 的列向量组线性相关．

💡 答案解析

**答案**: （A）．

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**解析**:

方法一设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times s$ 矩阵。由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，得 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant n$ 。因为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为非零矩阵，所以 $r(\boldsymbol{A}) \geqslant 1, r(\boldsymbol{B}) \geqslant 1$ ，于是 $r(\boldsymbol{A})\lt n, r(\boldsymbol{B})\lt n$ ．因为矩阵的秩、矩阵行向量组的秩、矩阵列向量组的秩都相等，于是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组的秩小于列数， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组的秩小于行数， $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性相关，应选（A）。方法二设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n s}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_{n}\end{array}\right)$ ，由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ 得

$$ \left\{\begin{array} { l } { b _ { 1 1 } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } + b _ { 2 1 } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } + \cdots + b _ { n 1 } \boldsymbol { \alpha } _ { n } = \mathbf { 0 } , } \\ { b _ { 1 2 } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } + b _ { 2 2 } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } + \cdots + b _ { n 2 } \boldsymbol { \alpha } _ { n } = \mathbf { 0 } , } \\ { \vdots } \\ { b _ { 1 s } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } + b _ { 2 s } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } + \cdots + b _ { n s } \boldsymbol { \alpha } _ { n } = \mathbf { 0 } } \end{array} \text { 及 } \left\{\begin{array}{l} a_{11} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{12} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{1 n} \boldsymbol{\beta}_{n}=\mathbf{0}, \\ a_{21} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{22} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{2 n} \boldsymbol{\beta}_{n}=\mathbf{0}, \\ \vdots \\ a_{m 1} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{m 2} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{m n} \boldsymbol{\beta}_{n}=\mathbf{0} . \end{array}\right.\right. $$

因为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为非零矩阵，所以存在不全为零的常数 $b_{1 j}, b_{2 j}, \cdots, b_{n j}$ 及 $a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}$ ，使得 $b_{1 j} \boldsymbol{\alpha}_{1}+b_{2 j} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+b_{n j} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\mathbf{0}$ 及 $a_{i 1} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{i 2} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{i n} \boldsymbol{\beta}_{n}=\mathbf{0}$ ，即 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ 都线性相关，应选（A）。

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：设定矩阵阶数并写出乘积为零的条件

设矩阵$A$为$m \times n$矩阵，矩阵$B$为$n \times s$矩阵。由题意，$AB = O$，其中$O$为$m \times s$零矩阵。根据矩阵乘法规则，$A$的列数必须等于$B$的行数，这里均为$n$。将$B$按列分块：$B = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s)$，其中每个$\boldsymbol{\beta}_j$是$n$维列向量。则$AB = A(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s) = (A\boldsymbol{\beta}_1, A\boldsymbol{\beta}_2, \dots, A\boldsymbol{\beta}_s) = O$。因此对每个$j=1,2,\dots,s$，有$A\boldsymbol{\beta}_j = \boldsymbol{0}$，即$B$的每一列都是齐次线性方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$的解向量。设齐次方程组$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$的解空间为$W$，则$W$的维数为$n - r(A)$（其中$r(A)$表示矩阵$A$的秩）。由于$B$的列向量全部属于$W$，故$B$的列向量组的秩不超过$W$的维数，即$r(B) \leq n - r(A)$。移项即得$r(A) + r(B) \leq n$。这个不等式是处理矩阵乘积为零问题时的重要工具，它给出了两个矩阵秩之间的约束关系。在后续步骤中，我们将利用这一不等式并结合其他条件（如$A$、$B$的具体形式或秩的已知值）来进一步推导。

公式：$$r(A) + r(B) \leq n$$

提示：将$B$按列分块，利用齐次方程解空间维数导出秩不等式。

步骤 2/4

目标：利用非零矩阵条件确定秩的范围

已知 $A$ 和 $B$ 均为非零矩阵，即 $A \neq O$，$B \neq O$。根据矩阵秩的定义，非零矩阵至少有一个非零元素，因此其秩至少为 $1$，即 $r(A) \geq 1$，$r(B) \geq 1$。由第一步得到的秩不等式 $r(A) + r(B) \leq n$，结合 $r(A) \geq 1$ 和 $r(B) \geq 1$，可以推出： - 若 $r(A) = n$，则 $r(B) \leq 0$，与 $r(B) \geq 1$ 矛盾，故 $r(A) < n$； - 同理，若 $r(B) = n$，则 $r(A) \leq 0$，与 $r(A) \geq 1$ 矛盾，故 $r(B) < n$。因此，$A$ 和 $B$ 的秩均严格小于 $n$，即 $r(A) < n$，$r(B) < n$。这意味着 $A$ 和 $B$ 都是不可逆矩阵（奇异矩阵），其行列式均为零。这一结论为后续步骤中进一步分析 $A$ 和 $B$ 的秩的具体取值提供了基础。

公式：$$r(A) \geq 1,\quad r(B) \geq 1,\quad r(A)+r(B) \leq n \quad \Rightarrow \quad r(A) < n,\; r(B) < n$$

提示：利用非零条件得到秩的下界，再结合上界不等式，即可排除满秩情况。

步骤 3/4

目标：将秩与向量组线性相关性联系

由矩阵秩的定义可知，矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩。对于给定的矩阵$A_{m \times n}$，若$r(A) < n$，则$A$的列向量组（共$n$个$m$维向量）的秩小于向量的个数$n$，根据向量组线性相关性的判定定理：向量组线性相关的充要条件是向量组的秩小于向量个数。因此，$r(A) < n$表明$A$的列向量组线性相关。类似地，对于矩阵$B_{n \times p}$，若$r(B) < n$，则$B$的行向量组（共$n$个$p$维向量）的秩小于$n$，故$B$的行向量组线性相关。注意：$B$的行数为$n$，所以行向量组有$n$个向量，其秩小于$n$即线性相关。在本问题中，已知$AB = O$，且$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times p$矩阵。由矩阵秩的不等式$r(A) + r(B) \leq n$，结合$r(A) < n$和$r(B) < n$的条件，可以进一步分析向量组的线性相关性。例如，若$r(A) < n$，则$A$的列向量组线性相关，从而存在非零的$n$维列向量$x$使得$Ax = 0$，即齐次线性方程组$Ax = 0$有非零解。同理，若$r(B) < n$，则$B$的行向量组线性相关，即存在非零的$n$维行向量$y$使得$yB = 0$。这些结论将用于后续步骤中判断$A$与$B$的秩的具体取值。

公式：r(A) < n \Rightarrow A\text{的列向量组线性相关}；\quad r(B) < n \Rightarrow B\text{的行向量组线性相关}

提示：注意区分矩阵的行数与列数，行向量组的线性相关性与行数有关，列向量组的线性相关性与列数有关。

步骤 4/4

目标：对照选项得出答案

由前几步的推导可知，矩阵$A$的列向量组线性相关，矩阵$B$的行向量组线性相关。具体地，设$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times m$矩阵，且$AB=E$（$m$阶单位矩阵）。根据矩阵秩的性质，有$\operatorname{rank}(A) \leq m$且$\operatorname{rank}(B) \leq m$。由$AB=E$可得$\operatorname{rank}(AB)=m$，而$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$，因此$\operatorname{rank}(A) \geq m$且$\operatorname{rank}(B) \geq m$。结合$\operatorname{rank}(A) \leq m$和$\operatorname{rank}(B) \leq m$，得到$\operatorname{rank}(A)=m$，$\operatorname{rank}(B)=m$。由于$A$是$m \times n$矩阵，$\operatorname{rank}(A)=m$，当$n>m$时，$A$的列数大于秩，故$A$的列向量组线性相关。同理，$B$是$n \times m$矩阵，$\operatorname{rank}(B)=m$，当$n>m$时，$B$的行数大于秩，故$B$的行向量组线性相关。题目四个选项分别为： (A) $A$的列向量组线性相关，$B$的行向量组线性相关 (B) $A$的列向量组线性相关，$B$的列向量组线性相关 (C) $A$的行向量组线性相关，$B$的行向量组线性相关 (D) $A$的行向量组线性相关，$B$的列向量组线性相关根据上述结论，$A$的列向量组线性相关，$B$的行向量组线性相关，恰好对应选项(A)。因此，正确答案为(A)。验证：当$n>m$时，$A$的列向量个数大于其秩，必然线性相关；$B$的行向量个数大于其秩，也必然线性相关。选项(A)完全符合这一结论，其他选项均不满足。

公式：\operatorname{rank}(A)=m,\quad \operatorname{rank}(B)=m

提示：注意矩阵的秩等于行秩也等于列秩，结合秩的不等式判断线性相关性。

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