2021年考研数学一第18题

解答题 · 12分

📝 题目

设 $u_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n x}+\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}(n=1,2, \cdots)$ ，求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的收敛域及和函数．

💡 答案解析

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**解析**:

设 $S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}=S_{1}(x)+S_{2}(x)$ ， 当 $e^{-x}\lt 1$ 时，则 $x\gt 0$ ，此时 $S_{1}(x)$ 收敛，且 $S_{1}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}=\displaystyle\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}, x\gt 0$ ． $S_{2}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，由 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)}}{\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}}\right|=|x|\lt 1$ ，得收敛区间为 $(-1,1)$ ， 在 $x= \pm 1$ 时，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\left|\displaystyle\frac{( \pm 1)^{n+1}}{n(n+1)}\right| \sim \displaystyle\frac{1}{n^{2}}$ ，且 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^{2}}$ 收敛，故 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{( \pm 1)^{n+1}}{n(n+1)}$ 收敛，故 $S_{2}(x)$ 的收敛域为 $[-1,1]$ ，故原级数的收敛域为 $(0,1]$ ． $$ \begin{aligned} & S_{2}^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} \\ & S_{2}^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}=\frac{1}{1-x} \\ & S_{2}^{\prime}(x)=\int_{0}^{x} S_{2}^{\prime \prime}(t) d t+S_{2}^{\prime}(0)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} d t=-\ln (1-x) \end{aligned} $$

$$ S_{2}(x)=\int_{0}^{x} S_{2}^{\prime}(t) d t+S_{2}(0)=\int_{0}^{x}-\ln (1-t) d t=(1-x) \ln (1-x)+x, x \in(0,1) $$

当 $x=1$ 时，$S_{2}(1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n(n+1)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left[\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{(n+1)}\right]=1$ ，

故 $S(x)=S_{1}(x)+S_{2}(x)=\displaystyle\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}+(1-x) \ln (1-x)+x, x \in(0,1)$ ，

$$ S(1)=S_{1}(1)+S_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}+1=\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}+1=\frac{e}{e-1} $$

综上所述：

$$ S(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}+(1-x) \ln (1-x)+x, x \in(0,1) \\ \frac{e}{e-1}, x=1 \end{array}\right. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定收敛域
首先，将给定的级数拆分为两部分：$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。分别求它们的收敛域，再取交集得到原级数的收敛域。\n\n**第一部分：$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}$**\n这是公比为 $e^{-x}$ 的等比级数。等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ 收敛当且仅当 $|r|<1$。此处 $r=e^{-x}$，故要求 $|e^{-x}|<1$，即 $e^{-x}<1$，解得 $x>0$。当 $x=0$ 时，$e^{-0}=1$，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} 1$，发散。因此第一部分的收敛域为 $(0,+\infty)$。\n\n**第二部分：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$**\n令 $a_n = \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。使用比值审敛法求收敛半径：\n$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{x^{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} |x| \cdot \frac{n}{n+2} = |x|.$$\n由比值审敛法，当 $|x|<1$ 时级数绝对收敛，当 $|x|>1$ 时发散，故收敛半径 $R=1$。\n\n接着讨论端点 $x=1$ 和 $x=-1$ 处的收敛性。\n- 当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$。由于 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，部分和 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$，故级数收敛。\n- 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$。取绝对值后为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 收敛，故原级数绝对收敛，从而收敛。\n因此第二部分的收敛域为 $[-1,1]$。\n\n**取交集**：第一部分要求 $x>0$，第二部分要求 $-1 \le x \le 1$，交集为 $0 < x \le 1$，即 $(0,1]$。\n\n故原级数的收敛域为 $(0,1]$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x|, \quad \text{收敛半径 } R=1$$
提示：分别求两部分收敛域再取交集，注意等比级数要求公比绝对值小于1。
步骤 2/4
目标：将和函数拆分为两部分
已知原级数的和函数为 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-nx}+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\right)$。为了分别处理两个不同形式的级数，我们将和函数拆分为两部分： $$S(x)=S_1(x)+S_2(x)$$ 其中 $$S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx},\quad S_2(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}.$$ 首先考虑 $S_1(x)$。注意到 $e^{-nx}=(e^{-x})^n$，因此 $S_1(x)$ 是一个以 $e^{-x}$ 为公比的等比级数（几何级数）： $$S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-x})^n.$$ 该级数收敛的条件是 $|e^{-x}|<1$，即 $e^{-x}<1$，亦即 $x>0$。当 $x>0$ 时，利用等比级数求和公式 $\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r}$（$|r|<1$），得到 $$S_1(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{1}{e^x-1}.$$ 其次考虑 $S_2(x)$。将 $S_2(x)$ 改写为 $$S_2(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n+1)}.$$ 令 $T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n+1)}$，则 $S_2(x)=x\,T(x)$。为求 $T(x)$，可利用幂级数的逐项微分或积分性质。注意到 $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},$$ 因此 $$T(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}.$$ 第一个和是标准的对数级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$（$|x|<1$）。第二个和可改写为 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{x}\sum_{m=2}^{\infty}\frac{x^m}{m}=\frac{1}{x}\left(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m}-x\right)=\frac{1}{x}\bigl(-\ln(1-x)-x\bigr).$$ 于是 $$T(x)=-\ln(1-x)-\frac{1}{x}\bigl(-\ln(1-x)-x\bigr)=-\ln(1-x)+\frac{\ln(1-x)}{x}+1.$$ 化简得 $$T(x)=1+\left(\frac{1}{x}-1\right)\ln(1-x).$$ 因此 $$S_2(x)=x\,T(x)=x\left[1+\left(\frac{1}{x}-1\right)\ln(1-x)\right]=x+(1-x)\ln(1-x).$$ 综上，和函数被拆分为两部分： $$S_1(x)=\frac{1}{e^x-1},\quad S_2(x)=x+(1-x)\ln(1-x).$$
公式：S_1(x)=\frac{1}{e^x-1},\quad S_2(x)=x+(1-x)\ln(1-x)
提示：注意 $S_1(x)$ 是等比级数，$S_2(x)$ 利用裂项法转化为对数级数求和。
步骤 3/4
目标：分别求和函数
首先求 $S_1(x)$。由题设，$S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}$，这是一个公比为 $e^{-x}$ 的等比级数。当 $x>0$ 时，$00.$$ 其次求 $S_2(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-nx}$。考虑对 $S_1(x)$ 逐项求导：$$S_1'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-n)e^{-nx}=-\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-nx}=-S_2(x).$$因此 $S_2(x)=-S_1'(x)$。计算 $S_1(x)$ 的导数：$$S_1(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}},\quad S_1'(x)=\frac{-e^{-x}(1-e^{-x})-e^{-x}\cdot e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}=\frac{-e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}.$$于是 $$S_2(x)=-S_1'(x)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2},\quad x>0.$$ 另一种方法：直接对 $S_2(x)$ 逐项求导两次化为几何级数。设 $T(x)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}=S_1(x)$，则 $T'(x)=-\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-nx}=-S_2(x)$，$T''(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n^2 e^{-nx}$。但此处只需 $S_2(x)$，故用上述求导法即可。 最后求 $S_3(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n^2 e^{-nx}$。对 $S_2(x)$ 求导：$$S_2'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-n^2)e^{-nx}=-S_3(x).$$因此 $S_3(x)=-S_2'(x)$。计算 $S_2(x)$ 的导数：$$S_2(x)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2},\quad S_2'(x)=\frac{-e^{-x}(1-e^{-x})^2 - e^{-x}\cdot 2(1-e^{-x})e^{-x}}{(1-e^{-x})^4}=\frac{-e^{-x}(1-e^{-x})-2e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3}=\frac{-e^{-x}+e^{-2x}-2e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3}=\frac{-e^{-x}-e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3}.$$于是 $$S_3(x)=-S_2'(x)=\frac{e^{-x}+e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3},\quad x>0.$$ 综上，三个和函数分别为： $$S_1(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}},\quad S_2(x)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2},\quad S_3(x)=\frac{e^{-x}+e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3},\quad x>0.$$
公式：S_1(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}},\quad S_2(x)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2},\quad S_3(x)=\frac{e^{-x}+e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3}
提示：利用逐项求导将级数转化为已知的等比级数，注意每次求导后符号变化。

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