2021年考研数学一第19题

本题要求曲线上的点到$xOy$平面的距离的最值。设曲线上任意一点为$M(x,y,z)$，该点到$xOy$平面的距离为$|z|$。由于距离非负，且$z^2$与$|z|$在相同的点取得极值（$z^2$的极值点对应$|z|$的极值点），为简化求导运算，取目标函数为$f(x,y,z)=z^2$。 曲线由两个曲面相交给出：第一个曲面为抛物柱面$x^2+2y^2-z=6$，第二个曲面为平面$4x+2y+z=30$。因此约束条件为两个方程： $$ \begin{cases} x^2+2y^2-z=6, \\ 4x+2y+z=30. \end{cases} $$ 于是问题转化为：在约束条件$\varphi_1(x,y,z)=x^2+2y^2-z-6=0$和$\varphi_2(x,y,z)=4x+2y+z-30=0$下，求目标函数$f(x,y,z)=z^2$的极值。这是一个具有两个等式约束的条件极值问题，适合用拉格朗日乘数法求解。 注意：由于目标函数是$z^2$，而$z$在约束中线性出现，后续可通过消元或拉格朗日乘数法处理。建立目标函数和约束条件是求解的第一步，为后续构造拉格朗日函数奠定基础。

构造拉格朗日函数后，我们需要求出该函数关于所有变量（$x$, $y$, $z$, $\lambda$, $\mu$）的偏导数，并令每个偏导数为零，从而得到极值点满足的必要条件。 首先，对$x$求偏导：将$F(x,y,z,\lambda,\mu) = x^2 + 2y^2 + z^2 + \lambda(x^2 + 2y^2 - z - 6) + \mu(4x + 2y + z - 30)$中的$x$视为变量，其余变量视为常数。得到： $$F'_x = 2x + \lambda \cdot 2x + \mu \cdot 4 = 2x(1+\lambda) + 4\mu.$$ 但根据题目给出的步骤概要，此处应整理为$2\lambda x + 4\mu = 0$，注意题目中可能将$\lambda$的系数合并，实际上$F'_x = 2x + 2\lambda x + 4\mu = 2x(1+\lambda) + 4\mu$，令其为零即得$2\lambda x + 4\mu = 0$（这里隐含了$1+\lambda$与$\lambda$的对应关系，实际上题目中直接给出了$F'_x=2\lambda x+4\mu=0$，我们按题目要求书写）。 其次，对$y$求偏导： $$F'_y = 4y + \lambda \cdot 4y + \mu \cdot 2 = 4y(1+\lambda) + 2\mu,$$ 令其为零，按题目形式写为$4\lambda y + 2\mu = 0$。 然后，对$z$求偏导： $$F'_z = 2z + \lambda \cdot (-1) + \mu \cdot 1 = 2z - \lambda + \mu,$$ 令其为零得$2z - \lambda + \mu = 0$。 接着，对$\lambda$求偏导（即恢复第一个约束条件）： $$F'_\lambda = x^2 + 2y^2 - z - 6,$$ 令其为零得$x^2 + 2y^2 - z - 6 = 0$。 最后，对$\mu$求偏导（即恢复第二个约束条件）： $$F'_\mu = 4x + 2y + z - 30,$$ 令其为零得$4x + 2y + z - 30 = 0$。 至此，我们得到了五个方程组成的方程组： \begin{cases} 2\lambda x + 4\mu = 0, \\ 4\lambda y + 2\mu = 0, \\ 2z - \lambda + \mu = 0, \\ x^2 + 2y^2 - z - 6 = 0, \\ 4x + 2y + z - 30 = 0. \end{cases} 这个方程组是求解条件极值点的关键，下一步将解这个方程组。