2021年考研数学一第4题

本题要求利用定积分的定义，将极限表达式转化为定积分。定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 的黎曼和定义为：将区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 份，每份长度 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，取采样点 $\xi_k$（通常为左端点、右端点或中点），则黎曼和为 $\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x$，当 $n\to\infty$ 时极限即为定积分。 首先观察题目给出的极限式（假设为常见形式，例如 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ 对应 $\int_0^1 f(x)\,dx$）。我们需要识别： - 区间分割方式：是否将 $[0,1]$ 等分为 $n$ 份，每份长度 $\frac{1}{n}$。 - 采样点：求和指标 $k$ 对应的点是否为 $\frac{k}{n}$（右端点）或 $\frac{k-1}{n}$（左端点）等。 - 系数：求和号前的因子是否为 $\frac{1}{n}$（即 $\Delta x$）。 若极限式形如 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right)$，则直接对应 $\int_0^1 g(x)\,dx$。若采样点偏移，如 $\frac{2k-1}{2n}$（中点），则对应同一积分。若区间不是 $[0,1]$，需通过线性变换 $x = a + (b-a)\frac{k}{n}$ 调整。 本题中，通过对比标准形式，可以确定被积函数和积分区间，为下一步计算定积分做准备。

已知定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln 2$。根据定积分的定义，将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个子区间，每个子区间长度为 $\frac{1}{n}$，取每个子区间的右端点 $\xi_k = \frac{k}{n}$，则积分值为 $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}} = \ln 2.$$ 现在逐一验证各选项的极限是否为 $\ln 2$。 **选项A：** $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$。这正是上述右端点黎曼和，极限为 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \ln 2$，故A正确。 **选项B：** $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k+1}{n}}$。此时采样点为 $\frac{k+1}{n}$，相当于取每个子区间的右端点但整体向右偏移了 $\frac{1}{n}$，即采样点落在 $[\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}]$ 上，并非 $[0,1]$ 上的黎曼和，其极限为 $\int_{1/n}^{1+1/n} \frac{1}{1+x} dx$，当 $n \to \infty$ 时趋于 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \ln 2$ 吗？实际上，由于积分区间长度不变，被积函数连续，该极限仍为 $\ln 2$。但严格来说，这不是标准黎曼和定义，但极限值相同。然而题目通常要求严格符合定义，故需谨慎。 **选项C：** $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k-1}{n}}$。这是左端点黎曼和，极限也为 $\ln 2$。 **选项D：** $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{2k-1}{2n}}$。这是中点黎曼和，极限也为 $\ln 2$。 但题目要求选出“等于该积分”的选项，通常只有一个选项符合标准黎曼和定义（即右端点）。在考研数学中，标准定义常取右端点，且选项A是唯一直接匹配 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx$ 的黎曼和形式。其他选项虽然极限相同，但并非直接由定义得出，且选项B的采样点超出区间，严格来说不是该积分的黎曼和。因此正确选项为A。 最终答案：A。