我们需要比较两个积分的大小：
$$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2(1+\cos x)} \ln(1+\sin x) \, dx, \quad I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x} \ln(1+\sin x) \, dx.$$
首先，利用三角恒等式比较分母。在区间 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 上，有 $\cos\frac{x}{2} > \sin\frac{x}{2}$，两边平方得 $\cos^2\frac{x}{2} > \sin^2\frac{x}{2}$，即 $\cos^2\frac{x}{2} > 1 - \cos^2\frac{x}{2}$，整理得 $2\cos^2\frac{x}{2} > 1$，即 $4\cos^2\frac{x}{2} > 2$。但我们需要更精确的关系：由 $\cos\frac{x}{2} > \sin\frac{x}{2}$ 可得 $\cos^2\frac{x}{2} > \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$，即 $\cos^2\frac{x}{2} > \frac{1}{2}\sin x$，于是 $4\cos^2\frac{x}{2} > 2\sin x$。又因为 $1+\sin x = \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = (\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})^2$，而 $2(1+\cos x) = 4\cos^2\frac{x}{2}$。由 $\cos\frac{x}{2} > \sin\frac{x}{2}$ 可得 $\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} < 2\cos\frac{x}{2}$，平方得 $(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2})^2 < 4\cos^2\frac{x}{2}$，即 $1+\sin x < 2(1+\cos x)$。因此分母满足 $2(1+\cos x) > 1+\sin x$，从而
$$\frac{1}{2(1+\cos x)} < \frac{1}{1+\sin x}.$$
其次，比较对数部分。利用不等式 $\ln(1+u) < u$ 对 $u>0$ 成立，令 $u = \sin x$，则 $\ln(1+\sin x) < \sin x$。但这里我们需要比较 $\ln(1+\sin x)$ 与 $2\ln(1+\sin x)$？实际上，对于 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\ln(1+\sin x) > 0$，因此 $2\ln(1+\sin x) > \ln(1+\sin x)$。但步骤概要中提到的“由 $\ln(1+x)
0$，因此直接有
$$\frac{1}{2(1+\cos x)} \ln(1+\sin x) < \frac{1}{1+\sin x} \ln(1+\sin x),$$
从而 $I_2 < I_3$。步骤概要中提到的 $\ln(1+x)
公式：\frac{1}{2(1+\cos x)} < \frac{1}{1+\sin x} \quad (x \in (0,\frac{\pi}{2}))
提示：比较积分大小时，优先比较被积函数的大小，注意分母和分子的单调性。
目标：综合得出最终大小顺序
由前两步的结论，我们已经得到：
- 第一步比较得出 $I_1 < I_2$；
- 第二步比较得出 $I_2 < I_3$。
将这两个不等式联立，由不等式的传递性可知：
$$I_1 < I_2 \quad \text{且} \quad I_2 < I_3 \quad \Longrightarrow \quad I_1 < I_2 < I_3.$$
因此三个积分的大小顺序为 $I_1$ 最小，$I_2$ 居中，$I_3$ 最大。
对照题目给出的四个选项：
- A. $I_1 < I_2 < I_3$
- B. $I_1 < I_3 < I_2$
- C. $I_2 < I_1 < I_3$
- D. $I_3 < I_2 < I_1$
显然，我们得到的顺序与选项 A 完全一致。
**验证**：
我们可以通过选取一个具体的数值来验证结论的合理性。例如，考虑积分区间 $[0,1]$ 上的被积函数 $\frac{1}{1+x}$、$\frac{1}{1+\sqrt{x}}$ 和 $\frac{1}{1+e^x}$，在 $x\in[0,1]$ 时，有 $1+x \le 1+\sqrt{x} \le 1+e^x$，因此对应的倒数大小关系为 $\frac{1}{1+x} \ge \frac{1}{1+\sqrt{x}} \ge \frac{1}{1+e^x}$，但注意本题中积分区间为 $[0,1]$ 且被积函数均为正，积分值的大小与函数值大小一致，故 $I_1 \ge I_2 \ge I_3$，这与我们得到的 $I_1 < I_2 < I_3$ 矛盾？实际上，本题的积分区间和函数形式与上述例子不同，此处仅说明验证方法。正确的验证应基于前两步的具体推导，此处不再赘述。
最终答案：选项 A。
公式：I_1 < I_2 \quad \text{且} \quad I_2 < I_3 \quad \Longrightarrow \quad I_1 < I_2 < I_3
提示：将前两步的不等式联立，利用传递性直接得出顺序。