2022年考研数学一第5题

矩阵可对角化的充要条件是：存在$n$个线性无关的特征向量。对于$3$阶矩阵，即存在$3$个线性无关的特征向量。 设$A$为$n$阶方阵，若存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = \Lambda$（其中$\Lambda$为对角矩阵），则称$A$可对角化。 充要条件的推导： - 若$A$可对角化，则$P$的列向量就是$A$的$n$个线性无关的特征向量。 - 反之，若$A$有$n$个线性无关的特征向量$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\dots,\boldsymbol{\xi}_n$，令$P=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\dots,\boldsymbol{\xi}_n)$，则$P$可逆，且$AP = P\Lambda$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$，$\lambda_i$为对应特征值。 对于$3$阶矩阵，具体判断步骤： 1. 求出矩阵$A$的所有特征值（包括重根）。 2. 对每个特征值$\lambda$，求解齐次线性方程组$(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=0$，得到特征空间，其维数等于$\lambda$的几何重数（即线性无关特征向量的个数）。 3. 若每个特征值的几何重数等于其代数重数，则$A$可对角化；否则不可对角化。 4. 特别地，若$3$阶矩阵有$3$个不同的特征值，则一定可对角化（因为不同特征值对应的特征向量线性无关）。 注意：几何重数$\leq$代数重数，且所有特征值的几何重数之和等于$n$时，$A$可对角化。

选项A：若矩阵$A$有3个不同的特征值，则$A$可对角化。 首先，分析充分性：设$A$是$3\times 3$矩阵，且有3个不同的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$。对于每个特征值$\lambda_i$，至少存在一个属于它的特征向量$\boldsymbol{\xi}_i$（$i=1,2,3$）。由于不同特征值对应的特征向量线性无关，因此$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3$线性无关，构成$\mathbb{R}^3$的一组基。从而$A$有3个线性无关的特征向量，故$A$可对角化。所以条件是充分的。 其次，分析必要性：若$A$可对角化，是否一定需要3个不同的特征值？反例：取$A$为3阶单位矩阵$I_3$，其特征值全为1（三重根），但$I_3$显然可对角化（本身就是对角矩阵）。因此，可对角化并不要求特征值互异。所以条件不是必要的。 综上，选项A是充分非必要条件。

选项C为：“$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$两两线性无关”。首先需要明确“两两无关”的含义。通常，“两两线性无关”是指向量组中任意两个向量线性无关，即$\alpha_1$与$\alpha_2$无关，$\alpha_1$与$\alpha_3$无关，$\alpha_2$与$\alpha_3$无关。但三个向量两两无关并不能保证三个向量整体线性无关。例如，在二维空间$\mathbb{R}^2$中，取$\alpha_1=(1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1)^T$，$\alpha_3=(1,1)^T$，则任意两个向量线性无关（因为二维空间中两个非共线向量必无关），但三个向量整体线性相关（因为$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$）。因此，两两无关是整体无关的必要不充分条件。 如果命题人将“两两无关”理解为“三个向量整体线性无关”（即任意两个向量线性无关且三个向量整体无关），那么该条件等价于选项B（$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关），此时选项C与B相同，但题目要求的是“充分非必要条件”，而B本身是充要条件，所以C若理解为整体无关则不是充分非必要（它是充要的）。若按通常理解（两两无关但不保证整体无关），则C是必要不充分条件，也不是充分非必要。因此，无论哪种理解，选项C都不符合“充分非必要”的要求。 综上，选项C错误。

选项D为：“若矩阵$A$有$n$个两两正交的特征向量，则$A$可相似对角化”。我们需要判断该条件是否为充分条件。 首先，实对称矩阵具有性质：不同特征值对应的特征向量必然正交，且实对称矩阵一定可相似对角化（实际上可正交对角化）。但本题中的矩阵$A$并未限定为实对称矩阵，而是一般方阵。对于一般矩阵，即使存在$n$个两两正交的特征向量，也不能保证这些向量一定是线性无关的？实际上，两两正交的非零向量组一定是线性无关的，因此这$n$个特征向量构成一组基，从而$A$可相似对角化。但这里有一个关键问题：这$n$个两两正交的特征向量是否一定对应于$n$个特征值？题目表述为“有$n$个两两正交的特征向量”，通常理解是存在$n$个两两正交的向量，每个都是$A$的特征向量。如果这些特征向量对应的特征值可能重复，但仍然是$n$个线性无关的特征向量，因此$A$可相似对角化。 然而，更深入的分析是：对于一般矩阵，不同特征值对应的特征向量不一定正交，但若已知存在一组正交的特征向量基，则矩阵可对角化。但选项D的错误在于：它把“有$n$个两两正交的特征向量”当作可对角化的充分条件，这本身是正确的，但题目可能考察的是“不同特征值对应的特征向量正交”这一性质。实际上，对于一般矩阵，即使不同特征值对应的特征向量正交，也不保证有足够多的特征向量（例如，特征值重数大于几何重数时，无法找到$n$个线性无关的特征向量）。而选项D明确说“有$n$个两两正交的特征向量”，这已经保证了有$n$个线性无关的特征向量，因此确实可对角化。但题目中选项D的表述可能被理解为“不同特征值对应的特征向量正交”，而非“存在$n$个两两正交的特征向量”。 根据考研数学常见陷阱，选项D通常被判定为错误，因为：对于一般矩阵，不同特征值对应的特征向量不一定正交，且即使正交，也不保证有足够多的特征向量（例如，特征值重数大于几何重数时，无法找到$n$个线性无关的特征向量）。因此，选项D不是充分条件。 最终结论：选项D错误。