2022年考研数学一第6题

已知 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶方阵，且齐次线性方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解。这意味着两个方程组的解空间（即零空间）完全相同。设 $W = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax=0 \} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Bx=0 \}$，则 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。 我们需要判断四个选项中哪个结论正确。选项通常涉及矩阵的秩、行列式、特征值或可逆性等性质。由于两个方程组同解，它们的解空间维数相等，即 $\dim \ker A = \dim \ker B$。由秩-零化度定理，$\operatorname{rank} A + \dim \ker A = n$，$\operatorname{rank} B + \dim \ker B = n$，因此 $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B$。但秩相等只是必要条件，并非充分条件，还需要考虑解空间的具体结构。 进一步分析：若 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，则对于任意 $x$，$Ax=0$ 当且仅当 $Bx=0$。这意味着 $A$ 和 $B$ 的行向量张成的空间（即行空间）的正交补相同，从而行空间本身也相同？不一定，因为行空间是解空间的正交补，但解空间相同意味着行空间的正交补相同，而行空间本身不一定相等，但它们的维数相等。实际上，两个矩阵的行空间可能不同，但它们的正交补相同。 关键转化：设 $V = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax=0 \}$，则 $V^\perp = \operatorname{row}(A)$（$A$ 的行空间）。由于 $V$ 相同，故 $V^\perp$ 相同，即 $\operatorname{row}(A) = \operatorname{row}(B)$。因此 $A$ 和 $B$ 的行空间相等。同理，列空间不一定相等。 由此，我们可以推导出：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = PA$（因为行空间相同意味着 $B$ 的行向量可由 $A$ 的行向量线性表示，且秩相等，故 $B$ 的行向量组与 $A$ 的行向量组等价，从而存在可逆矩阵 $P$ 左乘 $A$ 得到 $B$）。但注意，这里 $P$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵。 因此，问题转化为：已知 $B = PA$ 且 $P$ 可逆，判断四个选项中哪个一定成立。常见的正确结论可能是：$A$ 与 $B$ 的秩相等，或者 $A$ 与 $B$ 的行向量组等价，或者存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $AQ = B$ 等。需要结合具体选项进一步分析。

设 $y = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，其中 $x_1, x_2$ 均为 $n$ 维列向量。将每个选项中的分块矩阵方程写成关于 $x_1, x_2$ 的方程组形式。 对于选项 A：矩阵为 $\begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，方程 $\begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，即 $$\begin{cases} E x_1 = \lambda x_1 \\ 0 = \lambda x_2 \end{cases}$$ 所以 $x_1 = \lambda x_1$，$\lambda x_2 = 0$。 对于选项 B：矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & E \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，方程 $\begin{pmatrix} 0 & E \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，即 $$\begin{cases} x_2 = \lambda x_1 \\ 0 = \lambda x_2 \end{cases}$$ 对于选项 C：矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ E & 0 \end{pmatrix}$，方程 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ E & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，即 $$\begin{cases} 0 = \lambda x_1 \\ x_1 = \lambda x_2 \end{cases}$$ 对于选项 D：矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}$，方程 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，即 $$\begin{cases} 0 = \lambda x_1 \\ E x_2 = \lambda x_2 \end{cases}$$ 所以 $\lambda x_1 = 0$，$x_2 = \lambda x_2$。

首先分析选项A：设两个方程组分别为$Ax=0$和$Bx=0$，其中$A$和$B$为$n$阶方阵。若$A$与$B$等价，则存在可逆矩阵$P,Q$使得$B=PAQ$。但同解要求两个方程组的解集完全相同，即$\{x\mid Ax=0\}=\{x\mid Bx=0\}$。考虑反例：取$n=2$，令$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$。显然$A$与$B$不等价（秩不同），但若强行构造等价关系，例如取$P=I$，$Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，则$PAQ=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=A$，而$B$不同。实际上，若$A$与$B$等价，则$r(A)=r(B)$，但同解还需要零空间相同。例如$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$，两者秩均为1，且$A$与$B$等价（可通过初等变换得到），但$Ax=0$的解为$x=(0,t)^T$，$Bx=0$的解为$x=(-t,t)^T$，解集不同。因此选项A错误。 分析选项B：若$A$与$B$相似，则存在可逆矩阵$P$使得$B=P^{-1}AP$。此时$Ax=0$与$Bx=0$是否同解？考虑反例：取$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$。$A$与$B$不相似，因为$A$可对角化而$B$是Jordan块。但我们需要一个相似的反例：取$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，则$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=B$，此时$A$与$B$相似。$Ax=0$的解为$x=(0,t)^T$，$Bx=0$的解为$x=(-t,t)^T$，解集不同。因此相似不能保证同解，选项B错误。

选项C的方程组为： $$ \begin{cases} A\boldsymbol{x}_1 + B\boldsymbol{x}_2 = 0 \\ B\boldsymbol{x}_2 = 0 \end{cases} \quad \text{和} \quad \begin{cases} B\boldsymbol{x}_1 + A\boldsymbol{x}_2 = 0 \\ A\boldsymbol{x}_2 = 0 \end{cases} $$ 其中$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$均为$n$维列向量。 首先，已知条件：齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=0$与$B\boldsymbol{x}=0$同解。这意味着对于任意向量$\boldsymbol{x}$，$A\boldsymbol{x}=0$当且仅当$B\boldsymbol{x}=0$。 **证明第一个方程组与第二个方程组同解。** 设$\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2\end{pmatrix}$是第一个方程组的解，即满足： $$ A\boldsymbol{x}_1 + B\boldsymbol{x}_2 = 0, \quad B\boldsymbol{x}_2 = 0. $$ 由$B\boldsymbol{x}_2=0$，根据同解条件，可得$A\boldsymbol{x}_2=0$。将$B\boldsymbol{x}_2=0$代入第一个方程得$A\boldsymbol{x}_1=0$。再由$A\boldsymbol{x}_1=0$，利用同解条件得$B\boldsymbol{x}_1=0$。于是我们有： $$ B\boldsymbol{x}_1=0, \quad A\boldsymbol{x}_2=0. $$ 从而$B\boldsymbol{x}_1 + A\boldsymbol{x}_2 = 0$，且$A\boldsymbol{x}_2=0$，即$\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2\end{pmatrix}$满足第二个方程组。 反之，设$\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2\end{pmatrix}$是第二个方程组的解，即满足： $$ B\boldsymbol{x}_1 + A\boldsymbol{x}_2 = 0, \quad A\boldsymbol{x}_2 = 0. $$ 由$A\boldsymbol{x}_2=0$，根据同解条件得$B\boldsymbol{x}_2=0$。将$A\boldsymbol{x}_2=0$代入第一个方程得$B\boldsymbol{x}_1=0$，再由同解条件得$A\boldsymbol{x}_1=0$。于是有： $$ A\boldsymbol{x}_1=0, \quad B\boldsymbol{x}_2=0. $$ 从而$A\boldsymbol{x}_1 + B\boldsymbol{x}_2 = 0$，且$B\boldsymbol{x}_2=0$，即$\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{x}_2\end{pmatrix}$满足第一个方程组。 因此，两个方程组等价，即同解。故选项C正确。

选项D：方程组(I)与方程组(II)同解。 首先写出两个分块方程： 方程组(I)： $$\begin{cases} A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x} = 0 \end{cases}$$ 方程组(II)： $$\begin{cases} A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{c}^T A \boldsymbol{x} = 0 \end{cases}$$ 注意，方程组(II)的第二个方程实际上是 $\boldsymbol{c}^T A \boldsymbol{x} = 0$，而方程组(I)的第二个方程是 $\boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x} = 0$。 要判断它们是否同解，即是否任意满足(I)的解都满足(II)，且任意满足(II)的解都满足(I)。 显然，若 $\boldsymbol{x}$ 满足(I)，则 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，从而 $\boldsymbol{c}^T A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{0} = 0$，所以(I)的解一定是(II)的解。 但反过来不一定成立。考虑反例：设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。 方程组(I)： $$\begin{cases} x_1 = 0 \\ 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 = 0 \quad \Rightarrow x_2 = 0 \end{cases}$$ 解为 $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，只有零解。 方程组(II)： $$\begin{cases} x_1 = 0 \\ \boldsymbol{c}^T A \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{cases}$$ 第二个方程恒成立，所以方程组(II)的解为 $x_1=0$，$x_2$ 任意，即解空间为 $\{ (0, t)^T \mid t \in \mathbb{R} \}$。 显然，$(0,1)^T$ 满足(II)但不满足(I)，因此两个方程组不同解。故选项D错误。 综上，通过排除法，正确选项为C。