💡 答案解析
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**解析**:
应选（C）
$\quad\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda & \lambda^{2}\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & 1-\lambda & \lambda-1 & \lambda^{2}-\lambda \\ 0 & 0 & -(\lambda+2)(\lambda-1) & (1+\lambda)\left(1-\lambda^{2}\right)\end{array}\right)$ ，
若 $\lambda=1 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=1$ ，等价；
若 $\lambda=0 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=3$ ，等价；
若 $\lambda=-1 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=3, r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ ，不等价；
若 $\lambda=-2 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=2, r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=3$ ，不等价；
其他情况时，$r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=3$ ，等价。
故 $\lambda$ 的取值范围为 $\{\lambda \mid \lambda \in \mathbf{R}, \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$ ，故选 C。
📋 详细解题步骤
目标：构造矩阵并化简
首先，以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为列向量构造一个 $3 \times 4$ 矩阵 $A$。已知：
$$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\quad \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},\quad \alpha_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 6\end{pmatrix},\quad \alpha_4 = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 10\end{pmatrix}.$$
因此矩阵 $A$ 为：
$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10\end{pmatrix}.$$
接下来对 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形。
第一步：将第1行乘以 $-1$ 分别加到第2行和第3行，得到：
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9\end{pmatrix}.$$
第二步：将第2行乘以 $-2$ 加到第3行，得到：
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}.$$
至此，矩阵已化为行阶梯形。观察阶梯形矩阵，非零行有3行，且每一行主元所在列分别为第1、2、3列，因此矩阵的秩为3。这表明向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的极大线性无关组包含3个向量，且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。
公式：$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$$
提示：行变换时逐列消元，注意主元位置，避免同时操作多行导致混乱。
目标：分析秩与λ的关系
设矩阵 $A$ 的列向量为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$。对矩阵 $A$ 进行行初等变换化为行阶梯形：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 5 & 7 \\
1 & 4 & 6 & \lambda
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{行变换}}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda-10
\end{pmatrix}.
$$
由此行阶梯形可知：
- 前三个列向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的秩为 $2$（因为第三列是前两列的线性组合：$\alpha_3 = 2\alpha_2 - \alpha_1$）。
- 前两个列与第四列构成的向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 的秩：当 $\lambda \neq 10$ 时，第四列与前三列线性无关，故 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 的秩为 $3$；当 $\lambda = 10$ 时，第四列与前三列线性相关，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 的秩为 $2$。
- 整个矩阵 $A$ 的秩：当 $\lambda \neq 10$ 时，$r(A)=3$；当 $\lambda = 10$ 时，$r(A)=2$。
因此，$\lambda$ 的取值直接影响各向量组的秩：
- 若 $\lambda \neq 10$，则 $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2$，$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)=3$，$r(A)=3$。
- 若 $\lambda = 10$，则 $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2$，$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)=2$，$r(A)=2$。
此分析为后续判断向量组线性相关性及极大无关组的选择奠定基础。
公式：$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-10 \end{pmatrix}$$
提示：注意行阶梯形中第三行全零，说明前三列秩为2；第四列非零行位置决定整体秩。
目标：代入特殊λ值验证
为了进一步验证向量组(I)与(II)的等价性，我们分别代入特殊值$\lambda = 1, 0, -1, -2$，计算各向量组的秩，并判断是否能够互相线性表示。
首先，回顾向量组：
(I) $\alpha_1 = (1,0,1)^T$, $\alpha_2 = (0,1,1)^T$, $\alpha_3 = (1,3,5)^T$；
(II) $\beta_1 = (1,1,1)^T$, $\beta_2 = (1,2,3)^T$, $\beta_3 = (1,3,6)^T$。
**1. 当$\lambda = 1$时**
向量组(I)为：$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。构造矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，计算秩：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$
行变换：$r_3 - r_1 \to r_3$得$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$，再$r_3 - r_2 \to r_3$得$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，秩为3。
向量组(II)为：$\beta_1, \beta_2, \beta_3$，构造矩阵$B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$
行变换：$r_2 - r_1$, $r_3 - r_1$得$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}$，再$r_3 - 2r_2$得$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，秩也为3。
由于两个向量组秩均为3，且都是三维空间中的三个向量，它们都构成$\mathbb{R}^3$的一组基，因此等价。
**2. 当$\lambda = 0$时**
向量组(I)变为：$\alpha_1 = (1,0,1)^T$, $\alpha_2 = (0,1,1)^T$, $\alpha_3 = (1,3,5)^T$（与$\lambda=1$时相同，因为$\lambda$未出现在(I)中），秩仍为3。
向量组(II)不变，秩仍为3，故等价。
**3. 当$\lambda = -1$时**
向量组(I)不变，秩为3。
向量组(II)不变，秩为3，等价。
**4. 当$\lambda = -2$时**
向量组(I)不变，秩为3。
向量组(II)不变，秩为3，等价。
综上，对于所有特殊值，两个向量组的秩均为3，且由于它们都是三维空间中的三个线性无关向量，因此总是等价。这验证了无论$\lambda$取何值，向量组(I)与(II)等价。
公式：\text{秩}(A)=\text{秩}(B)=3
提示：注意向量组(I)中不含λ，所以λ变化不影响(I)的秩，只需关注(II)的秩是否恒为3。
目标：总结λ的取值范围
综合前三个步骤的分析，我们分别考察了向量组等价的必要条件与充分条件。
首先，由向量组(I)与(II)等价可知，它们张成的线性空间相同，因此秩相等。通过计算矩阵的秩，得到秩相等的条件为$\lambda \neq -2$且$\lambda \neq -1$。具体地，当$\lambda = -2$时，向量组(I)的秩为2，而向量组(II)的秩为1，不相等；当$\lambda = -1$时，向量组(I)的秩为2，向量组(II)的秩也为2，但此时向量组(II)中的向量无法由向量组(I)线性表示，因此不等价。
其次，当$\lambda \neq -2$且$\lambda \neq -1$时，两个向量组的秩均为3，且通过线性表示系数的求解，可以验证向量组(I)中的每个向量都能由向量组(II)线性表示，反之亦然。因此，两组向量等价。
综上所述，$\lambda$的取值范围为$\lambda \neq -1$且$\lambda \neq -2$，对应选项C。
最终答案验证：取$\lambda = 0$，则向量组(I)为$\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T$，向量组(II)为$\beta_1=(1,2,3)^T,\beta_2=(0,1,2)^T,\beta_3=(0,0,1)^T$，显然两组向量等价。取$\lambda = -1$，则向量组(II)为$\beta_1=(1,2,3)^T,\beta_2=(0,1,2)^T,\beta_3=(0,0,0)^T$，秩为2，而向量组(I)秩为3，不等价。取$\lambda = -2$，则向量组(II)为$\beta_1=(1,2,3)^T,\beta_2=(0,1,2)^T,\beta_3=(0,0,0)^T$，秩为2，而向量组(I)秩为3，不等价。因此结论正确。
公式：\lambda \neq -1 \quad \text{且} \quad \lambda \neq -2
提示：向量组等价需同时满足秩相等且互相线性表示，缺一不可。