2024年考研数学一第11题

首先，我们处理极限表达式中的分子部分：$(1+ax^2)^{\sin x}$。为了利用等价无穷小或洛必达法则，需要将其转化为指数形式。根据指数与对数的恒等式，对于任意正数$u$，有$u^v = e^{v \ln u}$。因此，令$u = 1+ax^2$，$v = \sin x$，则 $$ (1+ax^2)^{\sin x} = e^{\sin x \ln(1+ax^2)}. $$ 于是，原极限中的分子$ (1+ax^2)^{\sin x} - 1 $ 可改写为 $ e^{\sin x \ln(1+ax^2)} - 1 $。这一改写是后续使用等价无穷小$e^u - 1 \sim u$（当$u \to 0$）的关键步骤。注意，当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\ln(1+ax^2) \sim ax^2$，因此$\sin x \ln(1+ax^2) \sim x \cdot ax^2 = a x^3$，即该指数部分趋于0，满足等价无穷小的使用条件。改写后的表达式为 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x \ln(1+ax^2)} - 1}{x^3}. $$ 这样，分子就从幂指函数形式转化为指数函数减1的形式，便于后续化简。

本步骤需要将分子中的 $\sin x$ 和分母中的 $\ln(1+ax^2)$ 分别展开为麦克劳林级数，以便后续计算极限。 首先，展开 $\sin x$。利用 $\sin x$ 的麦克劳林展开式： $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ 由于分母中 $\ln(1+ax^2)$ 的最低次项为 $ax^2$（$a$ 为常数），且极限 $x \to 0$ 时分子分母均趋于0，我们需要展开到足够高的阶数。通常展开到 $x^3$ 项即可，因为 $\sin x$ 的 $x$ 项与分母的 $x^2$ 项结合后会产生 $x^3$ 项。因此取： $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 其中 $o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 更高阶的无穷小。 其次，展开 $\ln(1+ax^2)$。令 $u = ax^2$，则 $\ln(1+u)$ 的麦克劳林展开式为： $$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$$ 将 $u = ax^2$ 代入，得到： $$\ln(1+ax^2) = ax^2 - \frac{a^2 x^4}{2} + \frac{a^3 x^6}{3} - \cdots$$ 由于分子展开到 $x^3$ 项，分母需要展开到 $x^4$ 项才能匹配阶数（因为分母最低次为 $x^2$，与分子 $x$ 项结合后会产生 $x^3$ 项，而分母的 $x^4$ 项与分子 $x$ 项结合会产生 $x^5$ 项，不影响 $x^3$ 项系数）。因此取： $$\ln(1+ax^2) = ax^2 - \frac{a^2 x^4}{2} + o(x^4)$$ 其中 $o(x^4)$ 表示比 $x^4$ 更高阶的无穷小。 至此，我们完成了两个函数的展开，为下一步代入极限表达式做好准备。

本步骤的目标是计算指数部分 $\sin x \ln(1+ax^2)$ 的展开式，为后续求极限做准备。 首先，将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开到 $x^5$ 项： $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5).$$ 其次，将 $\ln(1+ax^2)$ 在 $x=0$ 处展开。令 $t = ax^2$，则 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3)$。代入 $t = ax^2$，得到： $$\ln(1+ax^2) = ax^2 - \frac{a^2 x^4}{2} + \frac{a^3 x^6}{3} + o(x^6).$$ 由于我们只需展开到 $x^5$ 项，而 $x^6$ 项已超出所需阶数，因此实际保留到 $x^4$ 项即可： $$\ln(1+ax^2) = ax^2 - \frac{a^2 x^4}{2} + o(x^5).$$ 现在计算乘积： $$\sin x \cdot \ln(1+ax^2) = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\right) \left(ax^2 - \frac{a^2 x^4}{2} + o(x^5)\right).$$ 逐项相乘，只保留次数不超过 $5$ 的项： - $x \cdot ax^2 = a x^3$， - $x \cdot \left(-\frac{a^2 x^4}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} x^5$， - $\left(-\frac{x^3}{6}\right) \cdot ax^2 = -\frac{a}{6} x^5$， - $x \cdot o(x^5)$ 和 $\left(-\frac{x^3}{6}\right) \cdot o(x^5)$ 以及 $\frac{x^5}{120} \cdot ax^2$ 均为 $o(x^5)$， - 其余乘积次数均高于 $5$，归入 $o(x^5)$。 合并 $x^5$ 项系数：$-\frac{a^2}{2} - \frac{a}{6} = -\left(\frac{a}{6} + \frac{a^2}{2}\right)$。 因此，指数部分展开为： $$\sin x \ln(1+ax^2) = a x^3 - \left(\frac{a}{6} + \frac{a^2}{2}\right) x^5 + o(x^5).$$

本步骤的目标是将表达式 $e^{\sin x \ln(1+ax^2)}$ 展开为幂级数形式，并计算到 $x^3$ 阶。首先，我们已经得到指数部分 $\sin x \ln(1+ax^2)$ 的展开式： $$\sin x \ln(1+ax^2) = a x^3 - \left(\frac{a}{6} + \frac{a^2}{2}\right)x^5 + O(x^7).$$ 现在利用指数函数的泰勒展开公式 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots$，其中 $u = \sin x \ln(1+ax^2)$。由于我们只需要展开到 $x^3$ 阶，而 $u$ 的最低阶项是 $a x^3$（三阶），因此 $u^2$ 的最低阶项是 $a^2 x^6$（六阶），$u^3$ 及更高次项的最低阶均不低于九阶。所以，在 $x \to 0$ 时，$e^u - 1$ 的展开中，只需保留 $u$ 本身即可得到 $x^3$ 阶的精确结果，更高阶项（如 $u^2$）对 $x^3$ 阶无贡献。 因此， $$e^{\sin x \ln(1+ax^2)} - 1 = u + \frac{u^2}{2} + \cdots = \left[a x^3 - \left(\frac{a}{6} + \frac{a^2}{2}\right)x^5 + \cdots\right] + \frac{1}{2}(a x^3)^2 + \cdots.$$ 由于 $(a x^3)^2 = a^2 x^6$ 是六阶小量，在 $x^3$ 阶的近似中可忽略。于是， $$e^{\sin x \ln(1+ax^2)} - 1 = a x^3 + o(x^3).$$ 这里 $o(x^3)$ 表示比 $x^3$ 更高阶的无穷小。至此，我们完成了指数函数的展开，得到了简洁的 $x^3$ 阶主项。

由前几步的展开可知，分子部分已经化简为 $a x^3 + o(x^3)$，分母为 $x^3$。因此原极限可写为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{a x^3 + o(x^3)}{x^3}. $$ 将分子中的每一项除以分母 $x^3$，得到： $$ \lim_{x \to 0} \left( a + \frac{o(x^3)}{x^3} \right). $$ 根据小 $o$ 记号的定义，当 $x \to 0$ 时，$\frac{o(x^3)}{x^3} \to 0$。因此极限值为 $a$。 题目已知该极限等于 $6$，故有 $a = 6$。 最终答案为 $a = 6$。验证：将 $a=6$ 代回原极限，分子展开后主项为 $6x^3$，与分母 $x^3$ 相除得 $6$，与题目条件一致，结果正确。