2024年考研数学一第10题

根据步骤2的化简，二重积分化为： $$I = 2 \int_{0}^{\infty} dy \int_{y}^{y+z} \lambda e^{-\lambda x} \cdot \lambda e^{-\lambda y} \, dx$$ 首先，对内部的 $x$ 积分。被积函数中 $\lambda e^{-\lambda y}$ 与 $x$ 无关，可提出积分号外： $$\int_{y}^{y+z} \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{x=y}^{x=y+z} = -e^{-\lambda(y+z)} + e^{-\lambda y} = e^{-\lambda y} - e^{-\lambda(y+z)}$$ 因此，内部积分结果为 $e^{-\lambda y} - e^{-\lambda(y+z)}$。代入原式： $$I = 2 \int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda y} \cdot \left( e^{-\lambda y} - e^{-\lambda(y+z)} \right) dy$$ 整理被积函数： $$I = 2 \lambda \int_{0}^{\infty} \left( e^{-2\lambda y} - e^{-\lambda(2y+z)} \right) dy$$ 分别计算两个指数积分： $$\int_{0}^{\infty} e^{-2\lambda y} dy = \left[ -\frac{1}{2\lambda} e^{-2\lambda y} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2\lambda}$$ $$\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda(2y+z)} dy = e^{-\lambda z} \int_{0}^{\infty} e^{-2\lambda y} dy = e^{-\lambda z} \cdot \frac{1}{2\lambda}$$ 因此： $$I = 2\lambda \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{e^{-\lambda z}}{2\lambda} \right) = 2\lambda \cdot \frac{1 - e^{-\lambda z}}{2\lambda} = 1 - e^{-\lambda z}$$ 所以，二重积分的结果为 $1 - e^{-\lambda z}$。

本步骤的目标是对前一步得到的二重积分进行化简，最终得到关于参数 $\lambda$ 和 $z$ 的简洁表达式。 首先，回顾上一步得到的积分形式： $$ P(Z > z) = \int_0^{+\infty} \int_y^{y+z} \lambda^2 e^{-\lambda x} e^{-\lambda y} \, dx \, dy. $$ 先对 $x$ 进行内层积分。将 $y$ 视为常数，对 $x$ 从 $y$ 到 $y+z$ 积分： $$ \int_y^{y+z} \lambda^2 e^{-\lambda x} e^{-\lambda y} \, dx = \lambda e^{-\lambda y} \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{x=y}^{x=y+z} = \lambda e^{-\lambda y} \left( e^{-\lambda y} - e^{-\lambda (y+z)} \right). $$ 因此，外层积分变为： $$ P(Z > z) = \int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda y} \left( e^{-\lambda y} - e^{-\lambda (y+z)} \right) dy. $$ 将括号展开： $$ P(Z > z) = \int_0^{+\infty} \lambda e^{-2\lambda y} \, dy - \int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda y} e^{-\lambda (y+z)} \, dy. $$ 第二项中，$e^{-\lambda (y+z)} = e^{-\lambda y} e^{-\lambda z}$，因此： $$ P(Z > z) = \int_0^{+\infty} \lambda e^{-2\lambda y} \, dy - e^{-\lambda z} \int_0^{+\infty} \lambda e^{-2\lambda y} \, dy. $$ 两个积分完全相同，提取公因子： $$ P(Z > z) = (1 - e^{-\lambda z}) \int_0^{+\infty} \lambda e^{-2\lambda y} \, dy. $$ 计算该积分： $$ \int_0^{+\infty} \lambda e^{-2\lambda y} \, dy = \lambda \cdot \frac{1}{2\lambda} = \frac{1}{2}. $$ 因此： $$ P(Z > z) = \frac{1}{2} (1 - e^{-\lambda z}). $$ 注意，这里得到的是 $P(Z > z)$，而题目通常要求 $Z$ 的分布函数或密度函数。由分布函数定义 $F_Z(z) = P(Z \le z) = 1 - P(Z > z)$，可得： $$ F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}(1 - e^{-\lambda z}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-\lambda z}, \quad z > 0. $$ 至此，积分结果已化简为关于 $z$ 的初等函数形式。

由步骤4已求得$Z = \min(X,Y)$的分布函数为： $$F_Z(z) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda z}, & z \geq 0 \\ 0, & z < 0 \end{cases}$$ 这正是参数为$\lambda$的指数分布的分布函数。指数分布的概率密度函数为$f_Z(z) = \lambda e^{-\lambda z} \ (z \geq 0)$，其分布函数与上式完全一致。 因此，随机变量$Z$服从参数为$\lambda$的指数分布，记作$Z \sim \text{Exp}(\lambda)$。 回顾题目条件：$X$与$Y$相互独立，且均服从参数为$\lambda$的指数分布，即$X \sim \text{Exp}(\lambda)$，$Y \sim \text{Exp}(\lambda)$。 比较选项： - (A) $X+Y$ 服从参数为$2\lambda$的伽马分布（或埃尔朗分布），不是指数分布。 - (B) $X-Y$ 的分布不是指数分布（可能取负值）。 - (C) $\max(X,Y)$ 的分布函数为$(1-e^{-\lambda z})^2$，不是指数分布。 - (D) $\min(X,Y)$ 的分布函数为$1-e^{-\lambda z}$，即指数分布，与$X$同分布。 因此，$Z = \min(X,Y)$与$X$同分布，均服从参数$\lambda$的指数分布，正确选项为(D)。 最终答案验证：$Z$的分布函数与$X$的分布函数完全相同，故$Z$与$X$同分布，选项D正确。