2024年考研数学一第9题

本步骤的目标是计算随机变量$X$的数学期望$E(X)$。根据概率论，连续型随机变量的期望公式为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_X(x) \, dx$，其中$f_X(x)$是$X$的边缘概率密度函数。 在前一步骤中，我们已经求出了$X$的边缘密度函数为： $$f_X(x)=\begin{cases} 2(1-x), & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 因此，$E(X)$的计算只需在$X$的支撑区间$[0,1]$上对$x \cdot f_X(x)$进行积分： $$E(X)=\int_{0}^{1} x \cdot 2(1-x) \, dx = 2\int_{0}^{1} x(1-x) \, dx$$ 展开被积函数： $$x(1-x)=x-x^2$$ 于是： $$E(X)=2\int_{0}^{1} (x-x^2) \, dx = 2\left[ \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \right]$$ 分别计算两个定积分： $$\int_{0}^{1} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$ $$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$ 代入得： $$E(X)=2\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$$ 因此，$X$的数学期望为$\frac{1}{3}$。

为了计算随机变量$Y$的期望$EY$，我们使用联合概率密度函数$f(x,y)$在区域$D$上的积分公式： $$EY = \iint_D y \cdot f(x,y) \, dxdy$$ 已知联合密度函数为$f(x,y)=2$，定义域为$0 \le x \le y \le 1$，即三角形区域：$x$从$0$到$y$，$y$从$0$到$1$。 首先写出二重积分： $$EY = \int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{y} y \cdot 2 \, dx \, dy$$ 先对$x$积分，将$y$视为常数： 内层积分 $\int_{0}^{y} 2y \, dx = 2y \cdot [x]_{0}^{y} = 2y \cdot (y - 0) = 2y^2$ 然后对外层$y$积分： $$EY = \int_{0}^{1} 2y^2 \, dy = 2 \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 因此，随机变量$Y$的期望为$EY = \frac{2}{3}$。

最后一步，我们利用协方差公式计算$\text{Cov}(X,Y)$。协方差的定义式为$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。前面步骤已求得：$E(X)=\frac{1}{3}$，$E(Y)=\frac{2}{3}$，$E(XY)=\frac{1}{4}$。代入公式得： $$\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9}{36}-\frac{8}{36}=\frac{1}{36}.$$ 因此协方差为$\frac{1}{36}$，对应选项D。 验证：由于协方差为正，说明$X$与$Y$正相关，这与题目中联合分布律的直观判断一致（当$X$取较大值时$Y$也倾向于取较大值）。最终答案正确。