2024年考研数学一第8题

已知随机变量$X$服从正态分布$N(0,2)$，即$E(X)=0$，$D(X)=2$；随机变量$Y$服从正态分布$N(-2,2)$，即$E(Y)=-2$，$D(Y)=2$。且$X$与$Y$相互独立。 要求$2X+Y$的分布，由于$X$和$Y$都是正态随机变量且独立，它们的线性组合仍然服从正态分布。设$Z = 2X + Y$，则$Z$服从正态分布$N(\mu_Z, \sigma_Z^2)$，其中均值$\mu_Z = E(2X+Y) = 2E(X) + E(Y) = 2 \times 0 + (-2) = -2$，方差$\sigma_Z^2 = D(2X+Y) = 4D(X) + D(Y) = 4 \times 2 + 2 = 8 + 2 = 10$（因为独立，协方差为0）。 因此，$2X+Y \sim N(-2, 10)$。

首先，将概率 $P\{X > Y\}$ 转化为 $P\{Y - X < 0\}$，因为事件 $X > Y$ 等价于 $Y - X < 0$。 已知 $X \sim N(0, 2)$，$Y \sim N(-2, 2)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。设 $Z = Y - X$，则 $Z$ 服从正态分布，其均值为 $\mu_Z = \mu_Y - \mu_X = -2 - 0 = -2$，方差为 $\sigma_Z^2 = \sigma_Y^2 + \sigma_X^2 = 2 + 2 = 4$（因为独立随机变量之差的方差等于方差之和）。 因此，$Z \sim N(-2, 4)$，即 $Z$ 服从均值为 $-2$、方差为 $4$ 的正态分布。于是 $P\{X > Y\} = P\{Z < 0\}$。 接下来，将 $Z$ 标准化：令 $W = \frac{Z - (-2)}{\sqrt{4}} = \frac{Z + 2}{2}$，则 $W \sim N(0, 1)$。于是 $$P\{Z < 0\} = P\left\{ \frac{Z + 2}{2} < \frac{0 + 2}{2} \right\} = P\{W < 1\} = \Phi(1),$$ 其中 $\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布函数。 因此，$P\{X > Y\} = \Phi(1)$。

本步骤的目标是将概率 $P\{Y-X<0\}$ 转化为标准正态分布的形式。已知在前一步中，我们已确定随机变量 $Z = Y - X$ 服从正态分布，其期望 $\mu_Z = -2$，方差 $\sigma_Z^2 = 4$，即 $Z \sim N(-2, 4)$。因此，$P\{Y-X<0\} = P\{Z < 0\}$。 为了使用标准正态分布表，我们需要将 $Z$ 标准化。标准化的一般方法是：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。这里，$Z$ 的均值 $\mu_Z = -2$，标准差 $\sigma_Z = \sqrt{4} = 2$。于是， $$P\{Z < 0\} = P\left\{ \frac{Z - (-2)}{2} < \frac{0 - (-2)}{2} \right\} = P\left\{ \frac{Z + 2}{2} < \frac{2}{2} \right\} = P\left\{ \frac{Z + 2}{2} < 1 \right\}.$$ 令 $U = \frac{Z + 2}{2}$，则 $U \sim N(0,1)$。因此， $$P\{Y-X<0\} = P\{U < 1\} = \Phi(1),$$ 其中 $\Phi(\cdot)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。至此，我们将原概率问题转化为标准正态分布函数值的计算。

由前一步骤已知，$\Phi\left(\frac{a+2}{\sqrt{10}}\right) = \Phi(1)$。由于标准正态分布函数$\Phi(x)$是严格单调递增的，因此当两个函数值相等时，其自变量必然相等。由此建立方程： $$ \frac{a+2}{\sqrt{10}} = 1 $$ 接下来解此方程。两边同时乘以$\sqrt{10}$，得： $$ a + 2 = \sqrt{10} $$ 然后移项，将常数2移到等号右边： $$ a = \sqrt{10} - 2 $$ 即$a = -2 + \sqrt{10}$。 **最终答案验证**：将$a = -2 + \sqrt{10}$代入原表达式$\frac{a+2}{\sqrt{10}}$，计算得： $$ \frac{(-2+\sqrt{10})+2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 1 $$ 因此$\Phi\left(\frac{a+2}{\sqrt{10}}\right) = \Phi(1)$成立，解正确。 至此，题目求解完成，参数$a$的值为$-2+\sqrt{10}$。