2024年考研数学一第7题

已知存在非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $A\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$，其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵。根据特征值与特征向量的定义：若存在非零向量 $\boldsymbol{x}$ 和数 $\lambda$，使得 $A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\boldsymbol{x}$ 为对应的特征向量。 将已知条件 $A\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ 与定义式对比，可改写为 $A\boldsymbol{\alpha} = 0 \cdot \boldsymbol{\alpha}$。因此，$\lambda = 0$ 满足特征值定义，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 是对应于特征值 $0$ 的特征向量。 由此得出结论：$0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 是属于特征值 $0$ 的特征向量。这一结论是后续步骤的基础，例如在判断矩阵是否可逆、计算特征多项式或讨论相似对角化时，特征值 $0$ 的存在性将直接影响矩阵的秩、行列式等性质。

已知对于任意满足 $\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha} = 0$ 的向量 $\boldsymbol{\beta}$，均有 $A \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta}$。这意味着所有与 $\boldsymbol{\alpha}$ 正交的向量都是矩阵 $A$ 对应于特征值 $1$ 的特征向量。 由于 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且其秩为 $2$，因此齐次线性方程组 $(A - I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解空间（即特征值 $1$ 的特征子空间）的维数至少为 $1$。但根据条件，所有与 $\boldsymbol{\alpha}$ 正交的向量都属于该解空间。在三维空间中，与一个非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 正交的向量构成一个二维子空间（即 $\boldsymbol{\alpha}$ 的正交补空间，维数为 $2$）。因此，特征值 $1$ 至少有两个线性无关的特征向量，即特征值 $1$ 的几何重数至少为 $2$。 由于代数重数不小于几何重数，且 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，特征值 $1$ 的代数重数至少为 $2$。又因为矩阵的秩为 $2$，说明 $0$ 是 $A$ 的一个特征值（因为 $3$ 阶矩阵秩 $2$ 意味着 $0$ 是特征值，且其几何重数为 $1$），所以特征值 $1$ 的代数重数不可能为 $3$（否则 $A$ 满秩）。因此，特征值 $1$ 的代数重数恰好为 $2$，即特征值 $1$ 是二重根。 综上，特征值 $1$ 的个数为 $2$（按重数计）。

由步骤1可知，矩阵$A$有一个特征值为$0$，且其代数重数至少为$1$。由步骤2可知，矩阵$A$的迹为$2$，且$A$的秩为$2$，因此$0$作为特征值的代数重数恰好为$1$（因为秩为$2$的$3$阶矩阵，零特征值的代数重数等于$3-\text{rank}(A)=1$）。设其余两个特征值为$\lambda_1$和$\lambda_2$，则根据迹的性质：$0+\lambda_1+\lambda_2 = \text{tr}(A)=2$，即$\lambda_1+\lambda_2=2$。又因为$A$是实对称矩阵（题目隐含条件或由步骤1中$A$可对角化推出），其特征值均为实数，且由步骤2中$A$的秩为$2$可知，非零特征值的个数等于秩，即$\lambda_1$和$\lambda_2$均不为$0$。另外，由步骤1中$A$与$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$相似，可知$A$的全部特征值为$0,1,1$。因此，综合步骤1和步骤2，矩阵$A$的全部特征值为$0$（单重）和$1$（二重）。

已知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=0$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=1$（二重特征值）。根据特征值的基本性质，若$\lambda$是$A$的特征值，则对于任意正整数$k$，$\lambda^k$是$A^k$的特征值。因此，$A^3$的特征值可以通过将$A$的每个特征值立方得到。具体计算如下： - 对于特征值$\lambda=0$，其立方为$0^3=0$。 - 对于特征值$\lambda=1$（二重），其立方为$1^3=1$，且重数保持不变，仍为二重。 因此，$A^3$的特征值为$0$（单重）和$1$（二重）。注意，这里特征值的重数在矩阵幂运算中保持不变，因为特征多项式在幂运算下对应的代数重数不变。 另外，也可以从特征向量的角度理解：设$\boldsymbol{x}$是$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，即$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则$A^3\boldsymbol{x}=A^2(A\boldsymbol{x})=A^2(\lambda\boldsymbol{x})=\lambda A^2\boldsymbol{x}=\lambda^2 A\boldsymbol{x}=\lambda^3\boldsymbol{x}$，所以$\boldsymbol{x}$也是$A^3$对应于特征值$\lambda^3$的特征向量。因此，$A$的特征向量直接给出了$A^3$的特征向量，特征值相应立方。 综上，$A^3$的特征值为$0$和$1$（二重）。

已知矩阵 $A$ 的特征值为 $0, 1, 1$，则 $A^3$ 的特征值为 $0^3, 1^3, 1^3$，即 $0, 1, 1$。矩阵的迹等于其特征值之和，因此 $\operatorname{tr}(A^3) = 0 + 1 + 1 = 2$。 验证：若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P\Lambda P^{-1}$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(0,1,1)$，于是 $A^3 = P\Lambda^3 P^{-1}$，$\Lambda^3 = \operatorname{diag}(0,1,1)$，迹相同。即使 $A$ 不可对角化，特征值（包括代数重数）仍保持不变，迹的计算同样成立。 因此，$A^3$ 的迹为 $2$，对应选项 A。