2025年考研数学一第18题

（本题满分 12 分） 已知函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，记 $g(x, y)=f\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)$ ，若 $g(x, y)$满足 $x^2 \displaystyle\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+x y \displaystyle\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+y^2 \displaystyle\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$ ，且 $g(x, x)=1,\left.\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\displaystyle\frac{2}{x}$ ，求 $f(u)$ ．