已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t d t, g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot \sin ^{2} x$ ，则
已知级数：（1）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin \displaystyle\frac{n^3 \pi}{n^2+1}$；（2）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} - an \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\right)$，则
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\displaystyle\int_{-2}^{2} d x \displaystyle\int_{4-x^{2}}^{4} f(x, y) d y=$
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数为
设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $n$ 维向量，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关，且 $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{4}=0$ ，在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，关于 $x, y, z$ 的方程组 $x \alpha_{1}+y \alpha_{2}+z \alpha_{3}=\alpha_{4}$ 的几何图形是
设 $n$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $r(A)+r(B)+r(B)=r(A B C)+2 n$ ，给出下列四个结论 ：（1）$r(A B C)+n=r(A B)+r(C)$ ；（2）$r(A B)+n=r(A)+r(B)$ ；（3） $r(A)=r(B)=r(C)=n$ ；（4）$r(A B)=r(B C)=n$ ，其中正确的选项是
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(0,0 ; 1,1 ; P)$ ，其中 $P \in(-1,1)$ ，若 $a, b$为满足 $a^{2}+b^{2}=1$ 的任意实数，则 $D(a X+b Y)$ 的最大值为
设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $T=\displaystyle\sum_{i=1}^{20} X_{i}$ ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{\mathrm{~T} \leq 1\} \approx$
设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为来自正态总体 $N(\mu, 2)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}$ ， $Z_{\alpha}$ 表示标准正态分布的上侧 $\alpha$ 分位数，假设检验问题：$H_{0}: \mu \leq 1, H_{1}: \mu\gt 1$的显著性水平为 $\alpha$ 的检验的拒绝域为
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{x}-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leq x\lt\displaystyle\frac{1}{2} \\ x^{2}, \displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x, S(x)$ 为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x$ 的和函数，则 $S\left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $u(x, y, z) = xy^2z^3$，向量 $\vec{n} = (2, 2, -1)$，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right|_{(1,1,1)} =$ ____。
已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y = 1 - x^2$ 从点 $(1, 0)$ 到 $(-1, 0)$ 的一段，则曲线积分 $\displaystyle\int_L (y + \cos x) dx + (2x + \cos y) dy =$ ____。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{array}\right)$ ，若方程组 $A^{2} X=0$ 与 $A X=0$ 不同解，则 $a-b=$ $\_\_\_\_$ ．
（本题满分 12 分） 已知函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数，记 $g(x, y)=f\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)$ ，若 $g(x, y)$满足 $x^2 \displaystyle\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+x y \displaystyle\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+y^2 \displaystyle\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$ ，且 $g(x, x)=1,\left.\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\displaystyle\frac{2}{x}$ ，求 $f(u)$ ．
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，证明：导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：对 $(a, b)$ 内任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时， $\displaystyle\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\displaystyle\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$
20．（本题满分 12 分） 设 $\Sigma$ 是由直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t, \\ z=t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）旋转一周得到的曲面，$\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x+y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧．计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma_1} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$
（本题满分 12 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，已知1 是 $A$ 的特征多项式的 重根 （1）求 $a$ 的值 （2）求所有满足 $A \alpha=\alpha+\beta, A^{2} \alpha=\alpha+2 \beta$ 的非零列向量 $\alpha, \beta$
（本题满分 12 分）
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq 100 \\
X-100, X>100
\end{array}\right.
$$
设损失事件发生时，投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3} & , x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}
$$
（1）求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$ ；
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$ ．假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，$M$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，其中 $p=P\{Y>0\}$ ，求 $M$ 的概率分布．