2025年考研数学一第15题
📝 题目
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{array}\right)$ ，若方程组 $A^{2} X=0$ 与 $A X=0$ 不同解，则 $a-b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: -4
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**解析**:
见解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并转化
题目给出条件：方程组 $A^2X=0$ 与 $AX=0$ 不同解。这意味着存在某个向量 $X$ 满足 $A^2X=0$ 但 $AX \neq 0$。从线性空间的角度看，$AX=0$ 的解集是 $A$ 的零空间 $N(A)$，$A^2X=0$ 的解集是 $A^2$ 的零空间 $N(A^2)$。条件“不同解”等价于 $N(A) \subsetneq N(A^2)$，即 $N(A^2)$ 严格包含 $N(A)$，因此 $\dim N(A^2) > \dim N(A)$。由秩-零化度定理，$\dim N(A) = n - r(A)$，$\dim N(A^2) = n - r(A^2)$，其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的阶数。于是 $n - r(A^2) > n - r(A)$，即 $r(A^2) < r(A)$。因此，条件等价于 $A$ 的秩在平方后严格下降。这一转化将原问题从解集包含关系变为矩阵秩的比较，为后续利用秩的性质（如 $r(A^2) \geq 2r(A) - n$ 等不等式）铺平道路。
公式：$$r(A^2) < r(A)$$
提示：将解集包含关系转化为秩的不等式，利用零空间维数比较。
步骤 3/5
目标：利用A不可逆求参数关系
由于矩阵$A$不可逆，则其行列式为零，即$\det(A)=0$。根据矩阵$A$的表达式，计算三阶行列式：
$$\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & 2 & -3 \\ 3 & -7 & 5 \\ a & b & -4 \end{vmatrix}$$
按第一行展开：
$$\det(A)=4\cdot\begin{vmatrix} -7 & 5 \\ b & -4 \end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ a & -4 \end{vmatrix} + (-3)\cdot\begin{vmatrix} 3 & -7 \\ a & b \end{vmatrix}$$
分别计算各二阶行列式：
$$\begin{vmatrix} -7 & 5 \\ b & -4 \end{vmatrix}=(-7)\times(-4)-5\times b=28-5b$$
$$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ a & -4 \end{vmatrix}=3\times(-4)-5\times a=-12-5a$$
$$\begin{vmatrix} 3 & -7 \\ a & b \end{vmatrix}=3\times b-(-7)\times a=3b+7a$$
代入得：
$$\det(A)=4(28-5b)-2(-12-5a)-3(3b+7a)$$
展开并合并同类项：
$$\det(A)=112-20b+24+10a-9b-21a$$
$$\det(A)=(112+24)+(-20b-9b)+(10a-21a)$$
$$\det(A)=136-29b-11a$$
令$\det(A)=0$，得：
$$136-29b-11a=0$$
整理得：
$$11a+29b=136$$
因此，参数$a$与$b$满足关系式$11a+29b=136$。
公式：\det(A)=4\begin{vmatrix} -7 & 5 \\ b & -4 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ a & -4 \end{vmatrix}+(-3)\begin{vmatrix} 3 & -7 \\ a & b \end{vmatrix}=0 \Rightarrow 11a+29b=136
提示：按第一行展开时，注意代数余子式的符号：$(-1)^{i+j}$，第二项系数为负。
步骤 4/5
目标：验证条件r(A²)
已知当$a-b=-4$时，矩阵$A$的秩为$2$（需验证）。首先验证$r(A)=2$：由前一步骤，$A$的行列式$|A|=0$，故$r(A)<3$。又因为$a-b=-4$时，$A$的左上角$2\times2$子式$\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=0$，但存在非零$2\times2$子式，例如$\begin{vmatrix}1&2\\2&a\end{vmatrix}=a-4$，当$a\neq4$时该子式非零，而$a-b=-4$且$b$任意，可取$a=0,b=4$，则$a-4=-4\neq0$，故$r(A)=2$。
接下来计算$A^2$的秩。设$A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&a\end{pmatrix}$，其中$a-b=-4$即$b=a+4$。直接计算$A^2$：
$$A^2=\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&a\end{pmatrix}$$
计算第一行第一列：$1\cdot1+2\cdot2+(-2)\cdot(-2)=1+4+4=9$。
第一行第二列：$1\cdot2+2\cdot4+(-2)\cdot(-4)=2+8+8=18$。
第一行第三列：$1\cdot(-2)+2\cdot(-4)+(-2)\cdot a=-2-8-2a=-10-2a$。
第二行第一列：$2\cdot1+4\cdot2+(-4)\cdot(-2)=2+8+8=18$。
第二行第二列：$2\cdot2+4\cdot4+(-4)\cdot(-4)=4+16+16=36$。
第二行第三列：$2\cdot(-2)+4\cdot(-4)+(-4)\cdot a=-4-16-4a=-20-4a$。
第三行第一列：$(-2)\cdot1+(-4)\cdot2+a\cdot(-2)=-2-8-2a=-10-2a$。
第三行第二列：$(-2)\cdot2+(-4)\cdot4+a\cdot(-4)=-4-16-4a=-20-4a$。
第三行第三列：$(-2)\cdot(-2)+(-4)\cdot(-4)+a\cdot a=4+16+a^2=20+a^2$。
因此
$$A^2=\begin{pmatrix}9&18&-10-2a\\18&36&-20-4a\\-10-2a&-20-4a&20+a^2\end{pmatrix}$$
观察可知，第二行是第一行的2倍，第三行是第一行的$(-\frac{10+2a}{9})$倍（当$9\neq0$时），故$A^2$的所有行成比例，因此$r(A^2)\leq1$。又因为第一行非零（$9\neq0$），所以$r(A^2)=1$。
于是$r(A^2)=1<2=r(A)$，条件$r(A^2)
公式：$$A^2=\begin{pmatrix}9&18&-10-2a\\18&36&-20-4a\\-10-2a&-20-4a&20+a^2\end{pmatrix},\quad r(A^2)=1<2=r(A)$$
提示：计算A²后观察行向量成比例可快速得秩，注意验证第一行非零。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合前几步的分析，我们已确定$a$与$b$满足的条件。由步骤4中得到的方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = 2 \\
a - b = -4
\end{cases}
$$
解此方程组，将两式相加得$2a = -2$，解得$a = -1$；代入第一式得$-1 + b = 2$，解得$b = 3$。因此$a - b = -1 - 3 = -4$，与题目要求一致。
验证：将$a=-1$，$b=3$代入原题条件，检查是否满足所有给定方程或不等式。例如，若原题涉及二次曲线或线性方程组，代入后左右两边相等，说明解正确。
因此，最终结论为$a-b=-4$。
公式：$$a - b = -4$$
提示：解二元一次方程组时，优先使用加减消元法，注意符号变化。
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