2025年考研数学一第10题

本题为单个正态总体均值的双侧检验，总体方差已知为$\sigma^2=2$，样本容量为$n$，样本均值为$\bar{X}$。根据数理统计理论，当原假设$H_0:\mu=\mu_0$成立时，样本均值$\bar{X}$服从正态分布$N(\mu_0,\sigma^2/n)$，即$\bar{X}\sim N(\mu_0,2/n)$。为了构造检验统计量，需要对样本均值进行标准化处理，使其在原假设下服从标准正态分布$N(0,1)$。标准化公式为：将$\bar{X}$减去其期望$\mu_0$，再除以其标准差$\sqrt{\sigma^2/n}=\sqrt{2/n}$。因此，检验统计量为：$$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{2/n}}$$在原假设$H_0$成立时，$T\sim N(0,1)$。该统计量反映了样本均值与原假设中总体均值的偏离程度，其绝对值越大，越倾向于拒绝原假设。由于总体方差已知，无需用样本方差估计，因此统计量直接服从标准正态分布，这是z检验的典型形式。后续步骤将根据显著性水平确定拒绝域，并计算样本观测值对应的统计量值，从而做出统计推断。

对于右侧检验 $H_0: \mu \leq 1$ 与 $H_1: \mu > 1$，我们构造检验统计量 $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\mu_0 = 1$，$\sigma$ 已知，$n$ 为样本容量。由于原假设 $H_0$ 包含 $\mu \leq 1$，当 $\mu$ 取最大值 $1$ 时，检验犯第一类错误的概率最大，因此我们以 $\mu = 1$ 为临界点构造拒绝域。 拒绝域的形式为 $\{ T > z_\alpha \}$，其中 $z_\alpha$ 是标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数，满足 $P(Z > z_\alpha) = \alpha$，$Z \sim N(0,1)$。具体地，将 $T$ 的表达式代入得： $$\frac{\bar{X} - 1}{\sigma / \sqrt{n}} > z_\alpha.$$ 等价地，可写为 $\bar{X} > 1 + z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。 在本题目中，已知 $\sigma = \sqrt{2}$，因此拒绝域为： $$\frac{\bar{X} - 1}{\sqrt{2/n}} > z_\alpha \quad \text{或} \quad \bar{X} > 1 + z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}}.$$ 注意：由于是右侧检验，拒绝域位于统计量取值较大的区域，即当样本均值 $\bar{X}$ 显著大于 $1$ 时拒绝原假设。$z_\alpha$ 的值由显著性水平 $\alpha$ 决定，例如 $\alpha = 0.05$ 时 $z_{0.05} \approx 1.645$。

在原假设 $H_0: \mu \leq 1$ 成立时，我们考虑最不利于 $H_0$ 的情况，即取边界值 $\mu = 1$。这是因为当 $\mu$ 越接近备择假设 $H_1: \mu > 1$ 时，检验统计量越容易落入拒绝域，从而检验的显著性水平（犯第一类错误的概率）达到最大值。因此，为了控制显著性水平，我们取 $\mu = 1$ 作为计算拒绝域的依据。\n\n已知样本均值 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{2}{n}\right)$，当 $\mu = 1$ 时，有：\n$$\bar{X} \sim N\left(1, \frac{2}{n}\right).$$\n标准化后得到检验统计量：\n$$Z = \frac{\bar{X} - 1}{\sqrt{2/n}} \sim N(0, 1).$$\n\n对于显著性水平 $\alpha$，拒绝域形式为 $Z > Z_\alpha$，即：\n$$\frac{\bar{X} - 1}{\sqrt{2/n}} > Z_\alpha.$$\n其中 $Z_\alpha$ 是标准正态分布的上 $\alpha$ 分位数。这一条件等价于：\n$$\bar{X} > 1 + Z_\alpha \sqrt{\frac{2}{n}}.$$\n\n至此，我们得到了在原假设边界值 $\mu=1$ 下的拒绝域条件，为后续计算样本容量或进行检验提供了基础。

根据上一步得到的拒绝域形式：$\overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha}$，其中$Z_{\alpha}$是标准正态分布的上$\alpha$分位数。该不等式已经直接给出了样本均值$\overline{X}$的拒绝域。具体推导过程如下： 原假设$H_0: \mu = 1$，备择假设$H_1: \mu > 1$，检验统计量为$\overline{X}$。在显著性水平$\alpha$下，拒绝域应使得当$H_0$成立时，$\overline{X}$落入拒绝域的概率为$\alpha$。 由中心极限定理，当$n$充分大时，$\overline{X}$近似服从正态分布$N(1, \frac{2}{n})$。因此，$\frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{2/n}} \sim N(0,1)$。 拒绝域形式为：$\frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{2/n}} > Z_{\alpha}$，即$\overline{X} - 1 > \sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha}$，整理得$\overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha}$。 因此，拒绝域为： $$\left\{ \overline{X} \, \middle| \, \overline{X} > 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha} \right\}$$ 该拒绝域的含义是：当样本均值$\overline{X}$大于临界值$1 + \sqrt{\frac{2}{n}} Z_{\alpha}$时，拒绝原假设$H_0$，认为总体均值$\mu$大于1。

本步骤为最后一步，需要将之前推导出的拒绝域条件与四个选项逐一比对。 由前几步推导可知，在显著性水平$\alpha$下，检验统计量$\bar{X}$的拒绝域为： $$ \bar{X} > 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} Z_{\alpha} $$ 其中$Z_{\alpha}$为标准正态分布的上$\alpha$分位数。 现在逐一检查四个选项： - **选项(A)**：$\bar{X} > 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} Z_{\alpha}$。该条件中$\frac{1}{\sqrt{n}}$与推导结果中的$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$不符，故(A)错误。 - **选项(B)**：$\bar{X} > 1 + \frac{1}{\sqrt{2n}} Z_{\alpha}$。该条件中$\frac{1}{\sqrt{2n}}$与$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$不同，因为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{2n}}$，显然不等于$\frac{1}{\sqrt{2n}}$，故(B)错误。 - **选项(C)**：$\bar{X} > 1 + \frac{2}{\sqrt{n}} Z_{\alpha}$。该条件中$\frac{2}{\sqrt{n}}$与$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$不同，因为$\sqrt{2} \approx 1.414$，而$2 > 1.414$，故(C)错误。 - **选项(D)**：$\bar{X} > 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} Z_{\alpha}$。该条件与推导结果完全一致，因此(D)正确。 综上，经过与四个选项的逐一比对，只有选项(D)符合推导出的拒绝域形式，故本题正确答案为(D)。 最终答案验证：将$\bar{X}$的拒绝域写为$\bar{X} > 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} Z_{\alpha}$，与选项(D)完全吻合，验证无误。