2025年考研数学一第11题

首先分析极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - 1}{\ln x \cdot \ln(1-x)}$ 的形式。当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，因此分母中的 $\ln x$ 是无穷大量。同时，利用等价无穷小，当 $x \to 0$ 时，$\ln(1-x) \sim -x$，所以 $\ln(1-x)$ 是无穷小量。于是分母 $\ln x \cdot \ln(1-x)$ 是无穷大量乘以无穷小量，需要进一步判断其阶数。分子 $x^x - 1$ 中，$x^x = e^{x \ln x}$，当 $x \to 0^+$ 时，$x \ln x \to 0$，因此 $x^x \to 1$，从而 $x^x - 1 \to 0$，分子是无穷小量。综合来看，分子趋于0，分母也趋于0（因为 $\ln(1-x) \sim -x$ 是 $O(x)$，而 $\ln x$ 是 $O(\ln x)$，乘积 $x \ln x \to 0$），所以该极限是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，适合使用洛必达法则或等价无穷小代换等方法进一步处理。

本步骤的目标是对分子 $x^x - 1$ 进行等价无穷小替换。首先，将 $x^x$ 改写为指数形式：$x^x = e^{x \ln x}$。于是分子变为 $e^{x \ln x} - 1$。当 $x \to 0^+$ 时，$x \ln x \to 0$（因为 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$），因此可以利用等价无穷小：当 $u \to 0$ 时，$e^u - 1 \sim u$。这里 $u = x \ln x$，所以有 $$ e^{x \ln x} - 1 \sim x \ln x \quad (x \to 0^+). $$ 因此，原极限中的分子 $x^x - 1$ 可以替换为 $x \ln x$，即 $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{x^x - 1}{x \ln x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln x}{x \ln x}. $$ 注意：替换后分母保持不变，仍为 $x \ln x$。这样，原极限就转化为一个更简单的形式，为下一步直接计算极限做好准备。

本步骤的目标是对分母进行等价无穷小替换，以简化极限表达式。当前极限形式为： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1-x)}{\ln x \cdot \ln(1-x)} $$ 注意，当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1-x)$ 是无穷小量，且 $\ln(1-x) \sim -x$（因为 $\ln(1+u) \sim u$，这里 $u = -x$）。因此，我们可以将分母中的 $\ln(1-x)$ 替换为 $-x$，即： $$ \ln x \cdot \ln(1-x) \sim \ln x \cdot (-x) = -x \ln x. $$ 于是原极限变为： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1-x)}{-x \ln x}. $$ 注意，分子中的 $\ln(1-x)$ 同样可以替换为 $-x$，但此时分子也含有 $\ln(1-x)$，若同时替换则分子变为 $-x$，分母为 $-x \ln x$，约去 $-x$ 后得到 $\frac{1}{\ln x}$，极限为 $0$。但需谨慎：等价无穷小替换在乘除运算中可直接使用，但分子和分母同时替换时，应确保替换后的表达式与原式在极限过程中等价。这里分子 $\ln(1-x) \sim -x$，分母 $\ln x \cdot \ln(1-x) \sim -x \ln x$，因此原极限等价于 $\lim_{x \to 0^+} \frac{-x}{-x \ln x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln x}$。由于 $x \to 0^+$ 时 $\ln x \to -\infty$，故 $\frac{1}{\ln x} \to 0$。因此极限值为 $0$。 本步骤的关键是正确应用等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，这里 $x$ 替换为 $-x$ 即得 $\ln(1-x) \sim -x$。注意替换后分母变为 $-x \ln x$，为后续计算提供了简洁形式。

在完成前几步的等价无穷小替换后，原极限表达式已化为： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln x}{-x \ln x} $$ 首先观察分子和分母，它们都含有因子 $x \ln x$。由于 $x \to 0^+$ 时，$x \ln x \to 0$，但此处我们并不需要单独处理该因子的极限，而是直接进行代数化简。分子为 $x \ln x$，分母为 $-x \ln x$，因此可以约去公共因子 $x \ln x$（注意：当 $x \to 0^+$ 时，$x \ln x$ 不为零，仅在极限过程中趋于零，故在极限表达式内部可以约分）。 约分后得到： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{-1} = \lim_{x \to 0^+} (-1) = -1 $$ 由于极限符号内的表达式已化为常数 $-1$，与变量 $x$ 无关，因此极限值即为该常数。 最终答案为 $-1$。 **验证**：为了确认结果的正确性，可以选取一个趋于 $0^+$ 的数列，例如 $x_n = \frac{1}{n}$（$n \to \infty$），代入原极限的原始形式（未化简前）进行数值检验。例如取 $n=100$，$x=0.01$，计算分子分母的近似值，比值应接近 $-1$。此外，从极限的运算法则来看，约分过程合法，故结果可靠。