2025年考研数学一第8题
📝 题目
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(0,0 ; 1,1 ; P)$ ，其中 $P \in(-1,1)$ ，若 $a, b$为满足 $a^{2}+b^{2}=1$ 的任意实数，则 $D(a X+b Y)$ 的最大值为
A
1
B
2
C
$1+|P|$
D
$1+P^{2}$
💡 答案解析
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**解析**:
（C）
$D(a X+b Y)=a^{2} D X+b^{2} D Y+2 a b \rho \sqrt{D X} \sqrt{D Y}=a^{2}+b^{2}+2 a b \rho a^{2}+b^{2}=1$ ，设 $a=\sin t, b=\cos t$ ，有 $a^{2}+b^{2}+2 a b \rho=1+\sin 2 t \cdot \rho$ ，最大值选（C）
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出方差公式
根据方差的性质，对于随机变量 $X$ 和 $Y$ 的线性组合 $aX + bY$，其方差公式为：
$$D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X, Y)$$
其中 $\text{Cov}(X, Y)$ 表示 $X$ 与 $Y$ 的协方差。协方差与相关系数 $\rho$ 的关系为：
$$\text{Cov}(X, Y) = \rho \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$$
将协方差代入方差公式，得到：
$$D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \rho \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$$
这里 $a$ 和 $b$ 是常数系数，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差，$\rho$ 是 $X$ 与 $Y$ 的相关系数。该公式是计算两个随机变量线性组合方差的基础，在后续步骤中我们将代入具体数值进行计算。
公式：$$D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \rho \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$$
提示：牢记方差展开公式，注意交叉项符号与系数 $2ab$ 的对应。
步骤 2/5
目标：代入已知参数
本步骤的目标是将已知参数代入方差公式中。在步骤1中，我们已经得到了随机变量线性组合的方差公式：
$$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\text{Cov}(X,Y)$$
现在，题目给出的已知条件是：$D(X)=1$，$D(Y)=1$，且相关系数$\rho=P$。根据相关系数的定义，协方差与相关系数的关系为：
$$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)D(Y)}$$
将$D(X)=1$，$D(Y)=1$，$\rho=P$代入上式，得到：
$$\text{Cov}(X,Y)=P\cdot\sqrt{1\times1}=P$$
接下来，将$D(X)=1$，$D(Y)=1$，$\text{Cov}(X,Y)=P$代入方差公式：
$$D(aX+bY)=a^2\cdot1+b^2\cdot1+2ab\cdot P$$
整理即得：
$$D(aX+bY)=a^2+b^2+2abP$$
这个表达式就是本步骤的最终结果，它简洁地表示了在给定方差和相关系数条件下，线性组合$D(aX+bY)$的表达式。注意，这里$P$是已知的相关系数，$a$和$b$是待定系数，将在后续步骤中进一步确定。
公式：$$D(aX+bY)=a^2+b^2+2abP$$
提示：代入前先写出协方差与相关系数的关系式，避免遗漏系数。
步骤 3/5
目标：利用条件化简
已知条件为 $a^2 + b^2 = 1$，我们需要利用这个条件对表达式 $D = 1 + 2abP$ 进行化简。
首先，回顾前一步得到的表达式：$D = (a^2 + b^2) + 2abP$。由于 $a^2 + b^2 = 1$，直接代入可得：
$$D = 1 + 2abP.$$
此时，$P$ 是已知的常数或表达式（根据题目上下文，$P$ 可能代表某个概率值或参数）。因此，化简后的 $D$ 仅依赖于 $a$、$b$ 和 $P$ 的乘积项 $2abP$。
为了进一步简化，我们可以考虑利用三角换元。由 $a^2 + b^2 = 1$，可设 $a = \cos\theta$，$b = \sin\theta$，其中 $\theta \in [0, 2\pi)$。则 $ab = \cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$。代入 $D$ 得：
$$D = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}\sin 2\theta \cdot P = 1 + P \sin 2\theta.$$
这样，$D$ 被表示为 $1$ 加上一个正弦函数乘以 $P$ 的形式，便于后续分析 $D$ 的取值范围或最值。
注意：如果 $P$ 本身是常数，则 $D$ 的取值范围为 $[1 - |P|, 1 + |P|]$。如果 $P$ 还与其他变量有关，则需要结合后续步骤进一步处理。
至此，我们成功利用 $a^2 + b^2 = 1$ 将 $D$ 化简为 $1 + 2abP$，并可通过三角换元得到更简洁的形式 $1 + P\sin 2\theta$。
公式：D = 1 + 2abP = 1 + P\sin 2\theta \quad (\text{其中 } a=\cos\theta,\, b=\sin\theta)
提示：利用 $a^2+b^2=1$ 进行三角换元可简化乘积项，便于后续分析取值范围。
步骤 4/5
目标：三角换元
为了简化表达式并利用三角恒等式，我们进行三角换元。设 $a = \sin t$，$b = \cos t$，其中 $t$ 为参数。由于 $a^2 + b^2 = 1$，该换元自动满足题目中可能存在的约束条件。
首先计算 $2ab$：
$$2ab = 2 \sin t \cos t = \sin 2t$$
接着，将 $D$ 用 $t$ 表示。根据题目已知条件，$D$ 的表达式为 $D = 1 + 2ab$（此处假设原表达式为 $D = 1 + 2ab$，若实际表达式不同，请根据题目调整）。代入换元结果：
$$D = 1 + \sin 2t$$
因此，经过三角换元后，原问题转化为关于 $t$ 的三角函数问题，其中 $D$ 仅依赖于 $\sin 2t$。这一变换将代数问题转化为三角函数的极值或取值范围问题，便于利用三角函数的性质（如 $\sin 2t \in [-1, 1]$）进行后续分析。
注意：换元后 $t$ 的取值范围通常为 $[0, 2\pi)$ 或根据实际需要确定，但 $\sin 2t$ 的周期性使得 $D$ 的取值范围易于求得。
公式：$$a = \sin t, \quad b = \cos t, \quad 2ab = \sin 2t, \quad D = 1 + \sin 2t$$
提示：换元后注意利用 $\sin 2t$ 的有界性，直接得到 $D$ 的范围。
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