2025年考研数学一第6题

已知条件为 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 = 0$，由此解出 $\alpha_4$ 的表达式：移项得 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2$。 原方程中涉及 $\alpha_4$ 的项需要全部替换为 $-\alpha_1 - \alpha_2$。假设原方程为一般线性组合形式，例如 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 = 0$，则代入后得到： $$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4(-\alpha_1 - \alpha_2) = 0$$ 合并 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的系数： $$(k_1 - k_4)\alpha_1 + (k_2 - k_4)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$$ 此步骤的核心目的是消去 $\alpha_4$，将原方程转化为仅含 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性关系式，为后续判断向量组的线性相关性或求解系数提供简化形式。注意替换过程中要确保每一项的系数符号正确，避免遗漏负号。

将上一步得到的方程 $\alpha_1(x+1) + \alpha_2(y+1) + \alpha_3 z = 0$ 进行整理。注意，该方程已经是从原方程移项并合并同类项后的结果，但为了符合步骤目标“将方程化为 $(x+1)\alpha_1 + (y+1)\alpha_2 + z\alpha_3 = 0$”的形式，我们只需将各项顺序稍作调整，并确认系数表达式正确。具体地，原方程可写为： $$ (x+1)\alpha_1 + (y+1)\alpha_2 + z\alpha_3 = 0. $$ 这里，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是向量或标量（根据题目上下文），$x, y, z$ 是变量。移项合并的过程实际上已经在上一步完成，本步骤仅需将方程写成标准形式，并明确各项系数。注意，方程左侧的每一项都是变量与系数的乘积，且所有项已移至等号左边，右边为0。因此，本步骤的关键在于确认移项的正确性：原方程中所有含 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的项均已合并，且常数项已处理。最终得到的形式即为步骤目标所要求的形式。

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，而 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关。根据线性相关与线性无关的定义，若 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，则它们构成一个线性无关组；而 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，意味着存在不全为零的系数 $c_1, c_2, c_3$ 使得 $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\alpha_3 = 0$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$c_3$ 不能为零（否则 $c_1, c_2$ 必须全为零，与线性相关矛盾）。因此可设 $c_3 = -1$（或任意非零常数），从而得到 $\alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$，其中 $k_1 = c_1/c_3$，$k_2 = c_2/c_3$。于是 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。设 $\alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$，其中 $k_1, k_2$ 为待定系数。这一步将 $\alpha_3$ 表示为 $\alpha_1, \alpha_2$ 的线性组合，为后续利用已知条件（如内积、正交性等）求解 $k_1, k_2$ 奠定基础。

将第3步中得到的表达式代入原方程。设向量组$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，且已知$A\alpha_1 = \alpha_1$，$A\alpha_2 = \alpha_2$，$A\beta = \beta + \alpha_1 + \alpha_2$。设$\eta = x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\beta$，代入方程$(A - I)\eta = \alpha_1 + \alpha_2$。 首先计算$(A - I)\eta$： $$(A - I)\eta = A\eta - \eta = A(x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\beta) - (x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\beta)$$ 利用线性性： $$= xA\alpha_1 + yA\alpha_2 + zA\beta - x\alpha_1 - y\alpha_2 - z\beta$$ 代入已知条件： $$= x\alpha_1 + y\alpha_2 + z(\beta + \alpha_1 + \alpha_2) - x\alpha_1 - y\alpha_2 - z\beta$$ 合并同类项： $$= (x\alpha_1 - x\alpha_1) + (y\alpha_2 - y\alpha_2) + (z\beta - z\beta) + z\alpha_1 + z\alpha_2$$ $$= z\alpha_1 + z\alpha_2$$ 因此方程化为： $$z\alpha_1 + z\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2$$ 移项得： $$(z-1)\alpha_1 + (z-1)\alpha_2 = 0$$ 由于$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，系数必须全为零，即$z-1=0$，解得$z=1$。 注意：题目中给出的步骤概要提到“代入后合并得$(x+1+zk_1)\alpha_1+(y+1+zk_2)\alpha_2=0$”，这里$k_1,k_2$可能是之前步骤中引入的待定系数，但根据本题实际推导，直接代入后得到的是$z\alpha_1+z\alpha_2 = \alpha_1+\alpha_2$，从而得到$z=1$。请根据实际题目条件调整。若存在$k_1,k_2$，则需将$\beta$的表达式$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$代入，但本题中$\beta$并非由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示，故此处按标准推导给出。

由前一步骤得到的方程组： $$ \begin{cases} x + 1 + k_1 z = 0 \\ y + 1 + k_2 z = 0 \end{cases} $$ 移项可得： $$ x = -1 - k_1 z, \quad y = -1 - k_2 z $$ 其中 $z$ 为自由变量，$k_1, k_2$ 为已知常数。因此直线的参数方程为： $$ \begin{cases} x = -1 - k_1 t \\ y = -1 - k_2 t \\ z = t \end{cases} $$ 其中 $t$ 为参数。当 $t = 0$ 时，对应点 $(-1, -1, 0)$，该点显然不是原点 $(0,0,0)$，因此直线不过原点。该方程表示一条空间直线，其方向向量为 $(-k_1, -k_2, 1)$，过定点 $(-1, -1, 0)$。最终判断：该图形为一条不经过原点的直线。