2025年考研数学一第5题

首先，观察给定的二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。该二次型只包含 $x_1^2$ 项以及交叉项 $x_1x_2$ 和 $x_1x_3$，而缺少 $x_2^2$ 和 $x_3^2$ 的平方项。这种结构提示我们，需要先对含有 $x_1$ 的项进行配方，将 $x_1$ 的二次项和一次项组合成一个完全平方形式。具体地，将 $f$ 写成关于 $x_1$ 的二次式：$f = x_1^2 + 2x_1(x_2+x_3)$。配方时，加上并减去 $(x_2+x_3)^2$，得到： $$f = \left[x_1^2 + 2x_1(x_2+x_3) + (x_2+x_3)^2\right] - (x_2+x_3)^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - (x_2+x_3)^2.$$ 此时，二次型被分解为一个平方项减去另一个平方项的形式。注意，$(x_2+x_3)^2$ 展开后为 $x_2^2+2x_2x_3+x_3^2$，因此原二次型等价于 $(x_1+x_2+x_3)^2 - x_2^2 - 2x_2x_3 - x_3^2$。这一步骤的关键在于识别出二次型缺少 $x_2^2$ 和 $x_3^2$ 项，从而决定先对 $x_1$ 进行配方，为后续的进一步变换（如正交变换或配方法化标准形）奠定基础。

在第一步中，我们已经将二次型写为 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2$。现在对变量 $x_1$ 进行配方。首先，将所有含有 $x_1$ 的项提取出来：$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。将其写成 $x_1^2+2x_1(x_2+x_3)$。为了配方，我们需要加上 $(x_2+x_3)^2$ 再减去 $(x_2+x_3)^2$，即： $$x_1^2+2x_1(x_2+x_3) = x_1^2+2x_1(x_2+x_3)+(x_2+x_3)^2 - (x_2+x_3)^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - (x_2+x_3)^2.$$ 因此，原二次型变为： $$f = (x_1+x_2+x_3)^2 - (x_2+x_3)^2 + 2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2.$$ 接下来，将不含 $x_1$ 的项合并：$- (x_2+x_3)^2 + 2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2$。展开 $-(x_2+x_3)^2 = -x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$，于是这部分为： $$-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2+2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2 = x_2^2+2x_2x_3+2x_3^2.$$ 所以，经过对 $x_1$ 配方后，二次型化为： $$f = (x_1+x_2+x_3)^2 + x_2^2+2x_2x_3+2x_3^2.$$ 至此，我们完成了对 $x_1$ 的配方，下一步将对 $x_2$ 进行配方。

在前两步中，我们已将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$ 通过配方法化为平方和形式。具体地，令 $y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2+x_3$，则原二次型可表示为 $f=y_1^2 - y_2^2$。 现在我们来验证这一标准形是否正确。将 $y_1$ 和 $y_2$ 的表达式代入： $$f = (x_1+x_2+x_3)^2 - (x_2+x_3)^2$$ 展开得： $$f = (x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3) - (x_2^2+x_3^2+2x_2x_3)$$ 化简后： $$f = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3$$ 与原二次型完全一致，说明变换正确。 标准形 $f = y_1^2 - y_2^2$ 中，平方项的系数分别为 $+1$ 和 $-1$。正平方项的个数（即正惯性指数）为 $1$，负平方项的个数（即负惯性指数）为 $1$，零平方项的个数为 $0$。因此，该二次型的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$，符号差为 $0$。 最终答案：正惯性指数为 $1$。