2025年考研数学一第4题

首先，分析原积分区域。题目给出的积分区域由以下不等式确定：$x$ 的取值范围为 $[-2, 2]$，$y$ 的取值范围为从 $4 - x^2$ 到 $4$。即： $$ -2 \leq x \leq 2, \quad 4 - x^2 \leq y \leq 4. $$ 下边界曲线为抛物线 $y = 4 - x^2$，这是一个开口向下的抛物线，顶点在 $(0, 4)$，与 $x$ 轴的交点为 $(-2, 0)$ 和 $(2, 0)$。上边界为水平直线 $y = 4$。因此，区域是位于抛物线 $y = 4 - x^2$ 上方、直线 $y = 4$ 下方的部分，且 $x$ 限制在 $[-2, 2]$ 内。 由于抛物线 $y = 4 - x^2$ 关于 $y$ 轴对称（因为 $x$ 以平方形式出现），且 $x$ 的区间 $[-2, 2]$ 也关于原点对称，所以整个积分区域关于 $y$ 轴对称。 为了画出草图，在平面直角坐标系中： - 画出抛物线 $y = 4 - x^2$，顶点 $(0,4)$，经过点 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$。 - 画出水平直线 $y = 4$，与抛物线在顶点处相切。 - 标记 $x$ 轴上的点 $-2$ 和 $2$。 - 区域为这两条曲线之间的竖直条形区域，形状类似于一个“倒拱形”的顶部被直线 $y=4$ 截断的部分。实际上，由于上边界与抛物线顶点重合，区域是一个“曲边三角形”，上边界退化为一个点 $(0,4)$，下边界为抛物线弧段。 该区域可以描述为：对于每个固定的 $x \in [-2, 2]$，$y$ 从 $4 - x^2$ 变化到 $4$。因此，在草图中，应画出竖直的切片线，表示 $y$ 的变化范围。 由于区域关于 $y$ 轴对称，后续计算中可以利用对称性简化积分。

原积分为 $\int_{-2}^{2} dx \int_{0}^{4-x^2} f(x,y) dy$，积分区域由 $x \in [-2,2]$，$y$ 从 $0$ 到 $4-x^2$ 描述。交换积分次序时，需将区域用 $y$ 作为外层变量。由 $y=4-x^2$ 得 $x=\pm\sqrt{4-y}$。$y$ 的范围：当 $x=0$ 时 $y$ 最大为 $4$，当 $x=\pm2$ 时 $y=0$，故 $y \in [0,4]$。对于固定的 $y$，$x$ 满足 $x^2 \le 4-y$，即 $-\sqrt{4-y} \le x \le \sqrt{4-y}$。但原积分中 $x$ 从 $-2$ 到 $2$，因此需将 $x$ 区间分为两段：$x \in [-2,-\sqrt{4-y}]$ 和 $x \in [\sqrt{4-y},2]$。于是交换次序后的积分为： $$ \int_{0}^{4} dy \left( \int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x,y) dx + \int_{\sqrt{4-y}}^{2} f(x,y) dx \right) $$ 此表达式与选项A一致。