2025年考研数学一第3题

选项A的表述为：若$\lim_{x \to \infty} f(x)$存在，则$\lim_{x \to \infty} f'(x)$也存在。我们需要判断该命题是否正确。 构造反例：考虑函数$f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}$，定义域为$x>0$。首先验证$\lim_{x \to \infty} f(x)$是否存在。由于$|\sin(x^2)| \leq 1$，故$|f(x)| \leq \frac{1}{x}$，由夹逼准则，$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$，极限存在。 接下来计算$f'(x)$。由商的求导法则： $$f'(x) = \frac{2x\cos(x^2)\cdot x - \sin(x^2)\cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2\cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2} = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}.$$ 当$x \to \infty$时，$\frac{\sin(x^2)}{x^2} \to 0$，但$2\cos(x^2)$在$[-2,2]$之间振荡，且不趋于任何极限（因为$x^2$增长，余弦函数振荡频率加快）。因此$\lim_{x \to \infty} f'(x)$不存在。 该反例表明：即使$f(x)$的极限存在，$f'(x)$的极限也可能不存在。故选项A错误。

选项B的表述为：若$\lim_{x \to +\infty} f'(x)$存在，则$\lim_{x \to +\infty} f(x)$必为有限值。我们需要判断这一命题是否正确。 构造反例：取函数$f(x) = x$，则$f'(x) = 1$，显然$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 1$存在（有限）。然而，$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$，即$f(x)$趋于无穷大，并非有限值。因此，该反例说明选项B是错误的。 进一步分析：导数极限存在只能保证函数在无穷远处的变化率趋于稳定，但不能保证函数本身有界。例如，$f(x)=x$的导数恒为1，但函数值随$x$增大而无限增大。更一般的，若$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = L \neq 0$，则当$x$充分大时，$f'(x)$接近$L$，由拉格朗日中值定理可知$f(x)$近似于线性增长（或下降），从而$f(x)$必趋于无穷（$L>0$时趋于$+\infty$，$L<0$时趋于$-\infty$）。即使$L=0$，也不能保证$f(x)$极限存在（例如$f(x)=\ln x$，$f'(x)=1/x \to 0$，但$f(x)\to +\infty$）。因此，选项B的结论不成立。

选项C的表述为：“若极限 $\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}\int_0^t f(x)\,dx$ 存在，则 $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ 存在。”我们需要判断该命题是否正确。 构造反例：取 $f(x)=\sin\frac{1}{x}$（$x>0$）。首先计算积分平均值极限： $$ \lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}\int_0^t \sin\frac{1}{x}\,dx. $$ 令 $u=\frac{1}{x}$，则 $x=\frac{1}{u}$，$dx=-\frac{1}{u^2}du$，当 $x$ 从 $0^+$ 到 $t$ 时，$u$ 从 $+\infty$ 到 $\frac{1}{t}$。于是 $$ \int_0^t \sin\frac{1}{x}\,dx = \int_{+\infty}^{1/t} \sin u \cdot \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du. $$ 因此 $$ \frac{1}{t}\int_0^t \sin\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{t}\int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du. $$ 注意到 $\int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du$ 是收敛的广义积分（因为 $\left|\frac{\sin u}{u^2}\right|\le \frac{1}{u^2}$，且 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{u^2}du$ 收敛）。当 $t\to 0^+$ 时，$1/t\to +\infty$，而 $\int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du \to 0$（因为积分上限趋于无穷，被积函数衰减足够快）。但两者乘积的极限需要仔细分析。 利用积分第二中值定理或直接估计：由于 $\left|\int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du\right| \le \int_{1/t}^{+\infty} \frac{1}{u^2}\,du = t$，所以 $$ \left|\frac{1}{t}\int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du\right| \le \frac{1}{t}\cdot t = 1. $$ 实际上，可以证明该极限为0。更精确地，利用分部积分： $$ \int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du = \left[-\frac{\cos u}{u^2}\right]_{1/t}^{+\infty} - \int_{1/t}^{+\infty} \frac{2\cos u}{u^3}\,du = \frac{\cos(1/t)}{(1/t)^2} - 0 - \int_{1/t}^{+\infty} \frac{2\cos u}{u^3}\,du = t^2\cos\frac{1}{t} - \int_{1/t}^{+\infty} \frac{2\cos u}{u^3}\,du. $$ 于是 $$ \frac{1}{t}\int_{1/t}^{+\infty} \frac{\sin u}{u^2}\,du = t\cos\frac{1}{t} - \frac{1}{t}\int_{1/t}^{+\infty} \frac{2\cos u}{u^3}\,du. $$ 当 $t\to 0^+$ 时，$t\cos\frac{1}{t}\to 0$（有界量乘无穷小），而 $\left|\frac{1}{t}\int_{1/t}^{+\infty} \frac{2\cos u}{u^3}\,du\right| \le \frac{1}{t}\int_{1/t}^{+\infty} \frac{2}{u^3}\,du = \frac{1}{t}\cdot t^2 = t \to 0$。因此极限为0。 但 $\lim_{x\to 0^+}\sin\frac{1}{x}$ 不存在（因为振荡）。所以积分平均值极限存在（等于0），而 $f(x)$ 的极限不存在，故选项C错误。

选项D：若$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，则$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = A$。 **证明**：设$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，则对任意$\varepsilon > 0$，存在$X > 0$，当$t > X$时，有$|f(t) - A| < \varepsilon$。将积分分段处理： $$ \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = \frac{1}{x} \int_0^X f(t) dt + \frac{1}{x} \int_X^x f(t) dt. $$ 对于第一项，由于$\int_0^X f(t) dt$是常数，记为$C$，则当$x \to +\infty$时，$\frac{C}{x} \to 0$。对于第二项，当$x > X$时，有 $$ \left| \frac{1}{x} \int_X^x f(t) dt - \frac{1}{x} \int_X^x A dt \right| \leq \frac{1}{x} \int_X^x |f(t)-A| dt < \frac{1}{x} \int_X^x \varepsilon dt = \varepsilon \cdot \frac{x-X}{x} < \varepsilon. $$ 而$\frac{1}{x} \int_X^x A dt = A \cdot \frac{x-X}{x} = A - \frac{AX}{x}$。因此， $$ \left| \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt - A \right| \leq \left| \frac{C}{x} \right| + \left| \frac{1}{x} \int_X^x f(t) dt - A \cdot \frac{x-X}{x} \right| + \left| A \cdot \frac{x-X}{x} - A \right|. $$ 当$x$充分大时，$\left| \frac{C}{x} \right| < \varepsilon$，$\left| \frac{1}{x} \int_X^x f(t) dt - A \cdot \frac{x-X}{x} \right| < \varepsilon$，且$\left| A \cdot \frac{x-X}{x} - A \right| = \frac{|A|X}{x} < \varepsilon$。所以总误差小于$3\varepsilon$，由$\varepsilon$的任意性知极限为$A$。故选项D正确。

综合前四步的分析：第一步确定题目考查向量组的线性相关性与秩的关系；第二步通过构造矩阵并计算秩，得到向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 的秩为2，因此它们线性相关；第三步分析选项A、B、C，发现它们均与秩为2的结论矛盾或无法由已知条件必然推出；第四步验证选项D：由于秩为2，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，且任意两个向量（如 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$）线性无关（因为秩为2，存在一个2阶子式非零），故 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示，且表示系数由方程组 $x\boldsymbol{\alpha}_1+y\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一确定。因此选项D正确。 最终答案：D。 验证：取具体数值实例，例如设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,0)^T$，则秩为2，$\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$，满足D。而A、B、C均不成立。故D为唯一正确选项。