2025年考研数学一第22题
📝 题目
（本题满分 12 分）
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq 100 \\
X-100, X>100
\end{array}\right.
$$
设损失事件发生时，投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3} & , x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}
$$
（1）求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$ ；
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$ ．假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，$M$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，其中 $p=P\{Y>0\}$ ，求 $M$ 的概率分布．
💡 答案解析
答案: （1）$P{Y>0}=P{Y>0, X \leq 100}+P{Y>0, X>100}=\displaystyle\int_{100}^{+\infty} \displaystyle\frac{2 \times 100^{2}}{(x+100)^{3}} d x=\displaystyle\frac{1}{4}$
📋 详细解题步骤
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