2026年考研数学一第10题
📝 题目
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}$ = $\displaystyle\frac{1}{2^{k+1}} + \displaystyle\frac{1}{3^k}$（$k=1,2,\cdots$），则对于正整数 $m, n$，有
💡 答案解析
答案: D
解析:
$P{X>m}=\displaystyle\sum_{k=m+1}^{\infty} P{X=k}=\displaystyle\sum_{k=m+1}^{\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2^{k+1}}+\displaystyle\frac{1}{3^{k}}\right)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2^{m+2}}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3^{m+1}}}{1-\displaystyle\frac{1}{3}}$
$$
=\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2} \frac{1}{3^{m}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{m}}+\frac{1}{3^{m}}\right)
$$
$$
P{X>m+n \mid X>m}=\frac{P{X>m+n}}{P{X>m}}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{m+n}}+\frac{1}{3^{m+n}}\right)}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{m}}+\frac{1}{3^{m}}\right)} \xlongequal{\left(\text { 同乘 } 6^{m}\right)} \frac{\frac{3^{m}}{2^{n}}+\frac{2^{m}}{3^{n}}}{3^{m}+2^{m}}
$$
而 $P{X>n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2^{n}}+\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\right)$ ，所以