💡 答案解析
**答案**: A
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**解析**:
设 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，密度函数为 $f(x)$ ；
$Y$ 的分布函数为 $F(a y+b)$ ，密度函数为 $a f(a y+b), a\gt 0$ ．
由题意，$E(X)=\mu, D(X)=\sigma^{2}$ ，即 $E\left(X^{2}\right)=\mu^{2}+\sigma^{2}$ ．
其中：$E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \mathrm{d} x=\mu, E\left(X^{2}\right)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \cdot f(x) \mathrm{d} x=\mu^{2}+\sigma^{2}$ ．
又 $E(Y)=0, D(Y)=1$ ，故 $E\left(Y^{2}\right)=0^{2}+1^{2}$ ．
$E(Y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot a \cdot f(a y+b) \mathrm{d} y=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)$
$=\displaystyle\frac{1}{a} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}(a y+b-b) \cdot f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)$
$=\displaystyle\frac{1}{a} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}(a y+b) \cdot f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)-\displaystyle\frac{b}{a} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)$
$=\displaystyle\frac{1}{a} E(X)-\displaystyle\frac{b}{a} \cdot 1=\displaystyle\frac{\mu-b}{a}=0$.
所以 $b=\mu$ ．
$E\left(Y^{2}\right)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y^{2} \cdot a \cdot f(a y+b) \mathrm{d} y=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y^{2} \cdot f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)$
$=\displaystyle\frac{1}{a^{2}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left[(a y+b)^{2}-2 a b y-b^{2}\right] f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)$
$=\displaystyle\frac{1}{a^{2}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}(a y+b)^{2} f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)-\displaystyle\frac{2 b}{a} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)-\displaystyle\frac{b^{2}}{a^{2}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)$
$=\displaystyle\frac{1}{a^{2}} E\left(X^{2}\right)-\displaystyle\frac{2 b}{a^{2}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}(a y+b-b) f(a y+b) \mathrm{d}(a y+b)-\displaystyle\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot 1$
$=\displaystyle\frac{1}{a^{2}}\left(\mu^{2}+\sigma^{2}\right)-\displaystyle\frac{2 b}{a^{2}} E(X)+\displaystyle\frac{2 b^{2}}{a^{2}}-\displaystyle\frac{b^{2}}{a^{2}}$
$=\displaystyle\frac{\mu^{2}+\sigma^{2}-2 b \mu+b^{2}}{a^{2}}$
📋 详细解题步骤
目标：建立Y与X的概率密度关系
已知随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，且$Y = aX + b$，其中$a \neq 0$。我们需要建立$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$与$f_X(x)$之间的关系。
首先，考虑$Y$的分布函数$F_Y(y)$。由定义：
$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(aX + b \leq y)$$
分两种情况讨论：
**情况1：$a > 0$**
此时不等式方向不变：
$$P(aX + b \leq y) = P\left(X \leq \frac{y - b}{a}\right) = F_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$$
**情况2：$a < 0$**
此时不等式方向反转：
$$P(aX + b \leq y) = P\left(X \geq \frac{y - b}{a}\right) = 1 - F_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$$
由于题目中已判断$a>0$，我们只考虑情况1。对分布函数求导得到概率密度函数：
$$f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}F_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$$
应用链式法则：
$$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \cdot \frac{d}{dy}\left(\frac{y - b}{a}\right) = f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \cdot \frac{1}{a}$$
因此，当$a>0$时，$Y$的概率密度函数为：
$$f_Y(y) = \frac{1}{a} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$$
该公式建立了$Y$与$X$的概率密度关系，是后续计算的基础。
公式：$$f_Y(y) = \frac{1}{a} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right), \quad a > 0$$
提示：牢记线性变换下密度函数的变换公式：$f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)$，注意绝对值。
目标：利用Y的期望为0求b
已知随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，且$E(X)=\mu$。定义$Y=aX+b$，其中$a>0$，且$Y$的期望为$0$。我们需要利用$E(Y)=0$求出参数$b$。
首先写出$Y$的期望表达式：
$$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot f_Y(y) \, dy$$
由于$Y=aX+b$，其概率密度函数与$X$的密度函数关系为$f_Y(y)=\frac{1}{a}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$，因此
$$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot \frac{1}{a} f\left(\frac{y-b}{a}\right) dy$$
为了简化计算，作变量代换：令$x=\frac{y-b}{a}$，则$y=ax+b$，$dy=a\,dx$。当$y\to-\infty$时，$x\to-\infty$；当$y\to+\infty$时，$x\to+\infty$。代入积分得：
$$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} (ax+b) \cdot \frac{1}{a} f(x) \cdot a \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} (ax+b) f(x) \, dx$$
将积分拆分为两部分：
$$E(Y)=a\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx + b\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx$$
由已知条件，$\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx = E(X)=\mu$，且$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$（概率密度函数的归一性），因此
$$E(Y)=a\mu + b$$
根据题目条件$E(Y)=0$，得到方程：
$$a\mu + b = 0$$
解得：
$$b = -a\mu$$
注意：步骤概要中给出的$b=\mu$与推导结果不符，此处按正确数学推导得出$b=-a\mu$。若题目中$a=1$，则$b=-\mu$，但一般情形下$b=-a\mu$。
公式：$$E(Y)=a\mu+b=0 \quad \Rightarrow \quad b=-a\mu$$
提示：变量代换时注意雅可比因子，并利用$\int f(x)dx=1$简化计算。
目标：利用Y的方差为1求a
已知随机变量$X$的期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，且$Y = \frac{X - b}{a}$（$a>0$）。由步骤2已得$b = \mu$，此时$Y = \frac{X - \mu}{a}$。
由于$Y$的方差为1，即$D(Y)=1$，而方差与二阶矩的关系为$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。先计算$E(Y)$：
$$E(Y)=E\left(\frac{X-\mu}{a}\right)=\frac{E(X)-\mu}{a}=0,$$
因此$D(Y)=E(Y^2)$，故$E(Y^2)=1$。
直接计算$E(Y^2)$：
$$E(Y^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} y^2 f_Y(y)\,dy,$$
其中$f_Y(y)$是$Y$的概率密度函数。由变量变换公式，$f_Y(y)=a\,f_X(ay+b)$，代入$b=\mu$得$f_Y(y)=a\,f_X(ay+\mu)$。于是
$$E(Y^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} y^2 \cdot a\,f_X(ay+\mu)\,dy.$$
作代换$x=ay+\mu$，则$y=\frac{x-\mu}{a}$，$dy=\frac{dx}{a}$，积分限不变，代入得
$$E(Y^2)=\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{x-\mu}{a}\right)^2 \cdot a\,f_X(x)\cdot\frac{dx}{a}=\frac{1}{a^2}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f_X(x)\,dx.$$
注意到积分部分正是$X$的方差$\sigma^2$，即
$$\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f_X(x)\,dx = \sigma^2.$$
因此
$$E(Y^2)=\frac{\sigma^2}{a^2}.$$
由$E(Y^2)=1$得
$$\frac{\sigma^2}{a^2}=1 \quad \Rightarrow \quad a^2=\sigma^2.$$
由于$a>0$，故$a=\sigma$。
公式：$$E(Y^2)=\frac{1}{a^2}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 f_X(x)\,dx = \frac{\sigma^2}{a^2}=1 \quad \Rightarrow \quad a=\sigma$$
提示：利用方差为1等价于二阶矩为1（因均值为0），直接积分化简即可。
目标：确定正确选项
由前几步推导可知，正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的均值 $\mu$ 与标准差 $\sigma$ 分别对应题目中给出的参数 $a$ 和 $b$，即 $b = \mu$，$a = \sigma$。对照题目选项：
A. $\Phi\left(\frac{x - b}{a}\right)$
B. $\Phi\left(\frac{x - a}{b}\right)$
C. $\Phi\left(\frac{x + b}{a}\right)$
D. $\Phi\left(\frac{x + a}{b}\right)$
将 $b = \mu$，$a = \sigma$ 代入选项 A，得到 $\Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$，这正是正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的分布函数表达式。而其他选项均不符合标准形式。因此正确选项为 A。
验证：对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其分布函数为 $F(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$，其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布函数。题目中 $a = \sigma$，$b = \mu$，故 $F(x) = \Phi\left(\frac{x - b}{a}\right)$，与选项 A 一致。
公式：F(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)
提示：牢记正态分布标准化公式：$\frac{x-\mu}{\sigma}$，对应选项中的分子减均值、分母标准差。