2026年考研数学一第8题

首先，我们已知函数定义为 $f(t) = E[(X + t)^2]$，其中 $X$ 是一个随机变量，$t$ 是实数参数，$E$ 表示数学期望。为了将 $f(t)$ 展开成关于 $t$ 的多项式形式，我们需要先展开平方项。 将 $(X + t)^2$ 展开，根据完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，得到： $$(X + t)^2 = X^2 + 2tX + t^2.$$ 因此， $$f(t) = E[X^2 + 2tX + t^2].$$ 接下来，利用数学期望的线性性质：对于任意随机变量 $Y_1, Y_2$ 和常数 $a, b$，有 $E[aY_1 + bY_2] = aE[Y_1] + bE[Y_2]$。这里，$X^2$、$2tX$ 和 $t^2$ 都是随机变量或常数，其中 $t^2$ 是常数，其期望等于自身。于是我们可以将期望拆分为三项之和： $$f(t) = E[X^2] + E[2tX] + E[t^2].$$ 由于 $2t$ 和 $t^2$ 都是常数（相对于随机变量 $X$ 而言），根据期望的性质，常数可以提到期望符号外面： $$E[2tX] = 2t E[X], \quad E[t^2] = t^2.$$ 因此，最终得到 $f(t)$ 的展开式为： $$f(t) = E[X^2] + 2t E[X] + t^2.$$ 这个表达式将 $f(t)$ 表示为一个关于 $t$ 的二次函数，其中系数由随机变量 $X$ 的一阶矩 $E[X]$ 和二阶矩 $E[X^2]$ 决定。后续步骤将在此基础上进一步化简或求极值。

由题意，随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,2)$。正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的数学期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)=\sigma^2$。因此，直接可得 $E(X)=1$，$D(X)=2$。 接下来计算 $E(X^2)$。根据方差与期望的关系公式：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，移项得 $E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$。代入已知数值：$D(X)=2$，$E(X)=1$，则 $[E(X)]^2=1^2=1$。于是 $E(X^2)=2+1=3$。 因此，$E(X)=1$，$E(X^2)=3$。

已知随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=1$，二阶原点矩 $E(X^2)=3$。在步骤2中，我们得到了关于参数 $t$ 的表达式 $f(t)=E(X^2)+2tE(X)+t^2$。现在将已知数值代入该表达式： 首先，代入 $E(X^2)=3$ 和 $E(X)=1$，得到： $$f(t)=3+2t\cdot1+t^2$$ 然后进行化简： $$f(t)=3+2t+t^2$$ 按照二次项、一次项、常数项的顺序整理，得到标准的二次函数形式： $$f(t)=t^2+2t+3$$ 因此，经过代入和化简，$f(t)$ 是一个开口向上的二次函数，其二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为3。

为了求函数 $f(t)$ 的最小值点，首先对 $f(t)$ 求一阶导数。由前一步骤已知 $f(t)=t^2+2t+3$，因此 $$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^2+2t+3) = 2t + 2.$$ 令一阶导数等于零，得到驻点方程： $$2t + 2 = 0.$$ 解得 $t = -1$。 接下来判断该驻点是否为极小值点。计算二阶导数： $$f''(t) = \frac{d}{dt}(2t+2) = 2.$$ 由于 $f''(t)=2 > 0$ 恒成立，根据二阶导数判别法，当二阶导数大于零时，函数在该点取得极小值。因此 $t=-1$ 是 $f(t)$ 的极小值点。 由于函数 $f(t)=t^2+2t+3$ 是一个开口向上的二次函数，其极小值点就是全局最小值点，故 $t=-1$ 即为所求的最小值点。

将$t=-1$代入函数$f(t)=t^2+2t+3$中，计算得到： $$f(-1)=(-1)^2+2\times(-1)+3=1-2+3=2.$$ 因此，函数$f(t)$在$t=-1$处取得最小值$2$。 **验证**：由于$f(t)=t^2+2t+3$是一个开口向上的二次函数，其顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times1}=-1$，顶点纵坐标即为最小值。代入验证结果一致，且二次项系数$a=1>0$，故该点为全局最小值点。最终答案为$2$。