2026年考研数学一第18题
📝 题目
（本题满分 12 分）
设函数 $f(u)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内具有3阶连续导数，且存在可微函数 $F(x, y)$ 使得
$$dF(x, y) = \frac{f(xy)}{x^2y} dx + \frac{f''(xy)}{xy^2} dy \quad (xy \gt 0)$$
（1）证明：$\displaystyle\frac{f''(u)}{u} - \displaystyle\frac{f(u)}{u} = C$，$C$ 为常数；
（2）设 $f(1) = 1$，$f'(1) = -1$，$f''(1) = 0$，求 $f(u)$ 的表达式
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
【解】根据全微分性质，混合偏导数是相等的．
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f(x y)}{x^{2} y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f^{\prime \prime}(x y)}{x y^{2}}\right) \
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f(x y)}{x^{2} y}\right)=\frac{x y f^{\prime}(x y)-f(x y)}{x^{2} y^{2}} \
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f^{\prime \prime}(x y)}{x\left(y^{2}\right.}\right)=\frac{x y f^{\prime \prime \prime}(x y)-f^{\prime \prime}(x y)}{x^{2} y^{2}}
\end{gathered}
$$
将两边相等得到 $x y f^{\prime}(x y)-f(x y)=x y f^{\prime \prime \prime}(x y)-f^{\prime \prime}(x y)$
令 $u=x y, u f^{\prime}(u)-f(u)=u f^{\prime \prime \prime}(u)-f^{\prime \prime}(u)$ ．
两边同时除以 $u(u>0)$ ，得
$$
f^{\prime \prime \prime}(u)-\frac{f^{\prime \prime}(u)}{u}=f^{\prime}(u)-\frac{f(u)}{u} .
$$
等价为 $f^{\prime \prime \prime}(u)-f^{\prime}(u)=\displaystyle\frac{f^{\prime \prime}(u)}{u}-\displaystyle\frac{f(u)}{u}$ ．
令 $g(u)=\displaystyle\frac{f^{\prime \prime}(u)}{u}-\displaystyle\frac{f(u)}{u}$ ，则 $g^{\prime}(u)=0 \Rightarrow g(x)$ 为常数。
（2）由（1）得，$\displaystyle\frac{f^{\prime \prime}(u)}{u}-\displaystyle\frac{f(u)}{u}=C$ ．
两边同时乘 $u$ 得，$f^{\prime \prime}(u)-f(u)=C u$ 。
（1）其特征方程为 $r^{2}-1=0$ ，解得 $r= \pm 1$ ．
故齐次方程通解为 $y=C_{1} \mathrm{e}^{u}+C_{2} \mathrm{e}^{-u}$ 。
（2）设特解 $A u+B$ ，代入得 $0-A u-B=C u$ ，解得 $A=-C, B=0$ ．故 $y^{*}=-C u$ ．
因此非齐次通解为 $y_{\text {非齐通 }}=y=C_{1} \mathrm{e}^{u}+C_{2} \mathrm{e}^{-u}-C u$ 。
由 $f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1, f^{\prime \prime}(1)=0$ 得 $C_{1}=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}, C_{2}=\mathrm{e}, C=-1$ ．
故 $f(u)=-\mathrm{e}^{u-1}+\mathrm{e}^{1-u}+u$ ．