2026年考研数学一第19题
📝 题目
（本题满分 12 分）
设有向曲线 $L$ 为椭圆 $x^2+3y^2=1$ 上沿逆时针方向从点 $A\left(-\displaystyle\frac{1}{2},-\displaystyle\frac{1}{2}\right)$ 到点 $B\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ 的部分，计算曲线积分 $I=\displaystyle\int_L\left(e^{x^2} \sin x-2xy\right) dx+\left(6x-x^2-y\cos^4 y\right) dy$。
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
【解】令 $P=\mathrm{e}^{x} \sin x-2 x y, Q=6 x-x^{2}-y \cos ^{4} y$ ， $\overline{B A}$ ：从 $B$ 到 $A$ 直线段，$\overline{B A}$ 与 $L$ 所围区城为 $D$ ，如下图所示：
则 $I=\displaystyle\int_{L+\overline{B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y-\displaystyle\int_{\overline{B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\displaystyle\int_{\overline{B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，其中 $\iint_{D}\left(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=6 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=6 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \pi$ ， $\displaystyle\int_{\overline{B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{1}{2}}^{-\displaystyle\frac{1}{2}}\left(\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x-2 x^{2}+6 x-x^{2}-x \cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x=-\displaystyle\frac{1}{4}$,故原式 $I=\sqrt{3} \pi+\displaystyle\frac{1}{4}$ ．