2026年考研数学一第5题

置换矩阵是线性代数中一类特殊的方阵，它是由单位矩阵经过若干次互换两行（或两列）得到的。更正式地，一个$n$阶置换矩阵$P$对应于一个$n$元置换$\sigma \in S_n$，其元素满足：$P_{ij} = 1$当且仅当$\sigma(j)=i$，其余元素为0。置换矩阵具有以下重要性质：它是正交矩阵，即$P^T P = I$，且$\det(P) = \pm 1$，具体符号取决于置换的奇偶性。 置换矩阵可以分解为初等交换矩阵的乘积。初等交换矩阵$E_{ij}$表示交换单位矩阵的第$i$行与第$j$行（或第$i$列与第$j$列）得到的矩阵。例如，对于$3$阶单位矩阵$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，交换第1行与第3行得到$E_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。 任意一个置换矩阵$A$都可以表示为若干个初等交换矩阵的乘积：$A = E_{i_1 j_1} E_{i_2 j_2} \cdots E_{i_k j_k}$。这是因为任何一个置换都可以分解为若干个对换的复合，而对换对应的矩阵就是初等交换矩阵。例如，置换$\sigma = (1\ 3\ 2)$（即$\sigma(1)=3, \sigma(2)=1, \sigma(3)=2$）可以分解为对换$(1\ 3)$与$(1\ 2)$的复合，因此对应的置换矩阵$P_\sigma = E_{13} E_{12}$。 这种分解不是唯一的，但分解中初等交换矩阵的个数（即对换的个数）的奇偶性是一定的，称为置换的奇偶性。理解置换矩阵的分解对于后续计算行列式、逆矩阵以及求解线性方程组中涉及行交换的问题至关重要。

设置换矩阵 $A$ 可以表示为初等交换矩阵的乘积：$A = E_{i_1 j_1} E_{i_2 j_2} \cdots E_{i_n j_n}$，其中每个 $E_{ij}$ 表示交换第 $i$ 行与第 $j$ 行的初等矩阵。 根据初等交换矩阵的性质： - 转置等于自身：$(E_{ij})^T = E_{ij}$ - 逆等于自身：$(E_{ij})^{-1} = E_{ij}$ 因此，对 $A$ 求逆时，有： $$A^{-1} = (E_{i_1 j_1} E_{i_2 j_2} \cdots E_{i_n j_n})^{-1} = (E_{i_n j_n})^{-1} \cdots (E_{i_2 j_2})^{-1} (E_{i_1 j_1})^{-1}$$ 利用 $(E_{ij})^{-1} = E_{ij}$，得到： $$A^{-1} = E_{i_n j_n} \cdots E_{i_2 j_2} E_{i_1 j_1}$$ 可见 $A^{-1}$ 仍然是若干个初等交换矩阵的乘积，且每个初等交换矩阵都是置换矩阵（交换两行），因此它们的乘积仍然是置换矩阵。 特别地，若 $A$ 是由一系列行交换得到的置换矩阵，则 $A^{-1}$ 对应逆序执行这些行交换。由于每个交换的逆就是自身，所以 $A^{-1}$ 就是将 $A$ 中的交换顺序完全颠倒后得到的置换矩阵。 例如，若 $A = E_{12} E_{23}$，则 $A^{-1} = E_{23} E_{12}$。 因此，置换矩阵的逆矩阵仍然是置换矩阵，且可以通过将原置换矩阵的分解顺序反转得到。

由步骤2已知，矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$是一个置换矩阵。置换矩阵是由单位矩阵经过若干次行交换（或列交换）得到的矩阵，其每一行和每一列恰好只有一个元素为1，其余元素均为0。置换矩阵的一个重要性质是：置换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即若$P$为置换矩阵，则$P^{-1}=P^{\mathrm{T}}$。因此，对于$A^{-1}$，有$(A^{-1})^{-1}=A=(A^{-1})^{\mathrm{T}}$。这意味着$A$本身也是置换矩阵，且$A$与$A^{-1}$互为转置。进一步，由于置换矩阵的行列式值为$\pm1$，且$A$与$A^{-1}$的行列式互为倒数，故$\det(A)=\det(A^{-1})=\pm1$，且$\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1$。选项B的表述为：“$A$是可逆矩阵，且$A^{-1}$是置换矩阵”，这一结论在步骤2中已经直接给出，因此选项B正确。需要强调的是，题目中并未要求$A$本身是置换矩阵，只要求$A^{-1}$是置换矩阵，而$A$可逆是显然的（因为$A^{-1}$存在）。所以选项B的陈述完全符合已知条件，无需额外推导。

首先分析选项A：A为置换矩阵，则$A^*$也是置换矩阵。利用伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^* = |A| A^{-1}$。置换矩阵的行列式$|A| = (-1)^k$，其中$k$为交换次数（即排列的逆序数）。因此$A^* = (-1)^k A^{-1}$。由于$A^{-1}$也是置换矩阵（置换矩阵的逆等于其转置，仍为置换矩阵），当$n$为偶数时，$(-1)^k$可能为$1$，此时$A^*$是置换矩阵；但当$n$为奇数时，$(-1)^k$可能为$-1$，此时$A^*$的元素可能为$-1$，而置换矩阵的元素只能是$0$或$1$，故$A^*$不一定是置换矩阵。因此选项A不一定正确。 接着分析选项C和D：C说$A^{-1} = A^*$，D说$A^{-1} = -A^*$。由$A^* = |A| A^{-1}$可得$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$。由于置换矩阵的行列式$|A| = \pm 1$，即$|A| = (-1)^k$，其倒数等于自身，故$A^{-1} = |A| A^*$。因此$A^{-1} = \pm A^*$，但符号取决于$k$的奇偶性：当$k$为偶数时$|A|=1$，$A^{-1}=A^*$；当$k$为奇数时$|A|=-1$，$A^{-1}=-A^*$。所以$A^{-1}$与$A^*$的关系并非恒等或恒负，而是依赖于具体的置换矩阵。因此选项C和D均错误。

综合前四步的分析，我们逐一验证每个选项的正确性。 **选项A**：由第2步可知，矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=2$（二重）和$\lambda_2=-1$，而$B$的特征值为$\mu_1=1$（二重）和$\mu_2=2$。由于特征值集合不同，$A$与$B$不相似，故选项A错误。 **选项B**：由第3步计算，$A$的Jordan标准形为$J_A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$，$B$的Jordan标准形为$J_B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$。$J_A$与$J_B$的Jordan块结构不同（$A$有一个2阶Jordan块对应特征值2，$B$有一个2阶Jordan块对应特征值1），因此$A$与$B$不相似，故选项B正确。 **选项C**：由第4步可知，$A$的秩为3（满秩），$B$的秩也为3（满秩），因此$A$与$B$等价（因为同阶方阵秩相等则等价），故选项C错误。 **选项D**：由第1步计算，$A$的特征多项式为$f_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1)$，$B$的特征多项式为$f_B(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。两者不同，故选项D错误。 综上所述，只有选项B正确，因此本题的正确答案为B。 **验证**：$A$与$B$不相似，但$A$与$B$等价（秩相等），且特征多项式不同，Jordan标准形不同，这些结论相互一致，无矛盾。