💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）当 $-2 \leq x\lt 0$ ，则 $0 \leq x+2\lt 2$ ，由题设：区间 $[0,2]$ 上，$f(x)=x\left(x^{2}-4\right)$ 知，
$$
f(x)=k f(x+2)=k(x+2)\left[(x+2)^{2}-4\right]=k(x+2)\left(x^{2}+4 x\right)=k x(x+2)(x+4)
$$
（II）由（I）知：$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\left(x^{2}-4\right), & x \in[0,2] \\ k x(x+2)(x+4), & x \in[-2,0)\end{array}\right.$ ，所以 $f(0)=0 \cdot\left(0^{2}-4\right)=0$ ，
按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等．所以根据导数的定义求 $f(x)$ 在 $x=0$ 的左右导数，使其相等，求出参数 $k$ ．
$$
\begin{aligned}
& f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x\left(x^{2}-4\right)-0}{x}=-4 \\
& f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{k x(x+2)(x+4)-0}{x}=8 k
\end{aligned}
$$
令 $f_{-}^{\prime}(0)=f_{+}^{\prime}(0)$ ，得 $k=-\displaystyle\frac{1}{2}$ ．即当 $k=-\displaystyle\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
📋 详细解题步骤
目标：写出f(x)在[-2,0)上的表达式
已知函数$f(x)$满足关系式$f(x)=kf(x+2)$，且当$x\in[0,2]$时，$f(x)=x(x^2-4)$。现在要求$x\in[-2,0)$上的表达式。
对于任意$x\in[-2,0)$，有$x+2\in[0,2]$，因此可以利用已知的递推关系。由$f(x)=kf(x+2)$，将$x+2$代入已知区间上的表达式：
$$f(x+2)=(x+2)\left[(x+2)^2-4\right]=(x+2)\left(x^2+4x+4-4\right)=(x+2)(x^2+4x).$$
化简得：
$$f(x+2)=(x+2)\cdot x(x+4)=x(x+2)(x+4).$$
于是：
$$f(x)=k\cdot f(x+2)=k\cdot x(x+2)(x+4).$$
因此，当$x\in[-2,0)$时，$f(x)=kx(x+2)(x+4)$。
公式：f(x)=k\cdot x(x+2)(x+4),\quad x\in[-2,0)
提示：注意将$x$变换到已知区间时，要准确代入并化简多项式。
目标：写出f(x)的分段形式并计算f(0)
由第1步已知，函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上定义，且满足$f(x)=x(x^2-4)$在$x\in[0,2]$上成立。对于$x\in[-2,0)$，根据题目条件可设$f(x)=kx(x+2)(x+4)$，其中$k$为待定常数。因此，$f(x)$的分段表达式为：
$$
f(x)=
\begin{cases}
kx(x+2)(x+4), & -2 \leq x < 0, \\
x(x^2-4), & 0 \leq x \leq 2.
\end{cases}
$$
接下来计算$f(0)$。由于$x=0$属于第二段区间$[0,2]$，代入表达式$f(x)=x(x^2-4)$得：
$$
f(0)=0\cdot(0^2-4)=0.
$$
因此，$f(0)=0$。注意，在分段点$x=0$处，两个分段表达式应满足连续性条件（后续步骤会用到），但此处仅需计算函数值，直接代入第二段即可。
公式：$$f(x)=\begin{cases} kx(x+2)(x+4), & -2 \leq x < 0, \\ x(x^2-4), & 0 \leq x \leq 2. \end{cases}$$
提示：分段点处的函数值直接代入所属区间表达式计算，无需考虑极限。
目标：计算f(x)在x=0处的右导数
根据题目已知条件，函数$f(x)$在$x=0$处的右导数定义为：
$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$$
首先需要确定$f(0)$的值。由题目给出的分段函数可知，当$x=0$时，$f(0)=0$。对于$x>0$，函数表达式为$f(x)=x(x^2-4)$。因此，将$f(x)$和$f(0)$代入右导数定义式：
$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(x^2-4)-0}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(x^2-4)}{x}.$$
由于$x\to 0^+$时$x\neq 0$，分子分母中的$x$可以约去，得到：
$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}(x^2-4).$$
此时直接代入$x=0$，得到：
$$f'_+(0)=0^2-4=-4.$$
因此，函数$f(x)$在$x=0$处的右导数为$-4$。
公式：$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(x^2-4)}{x}=\lim_{x\to 0^+}(x^2-4)=-4$$
提示：注意右导数定义中分母是x-0，分子是f(x)-f(0)，代入后先化简再求极限。
目标：计算f(x)在x=0处的左导数
根据左导数的定义，函数$f(x)$在$x=0$处的左导数为：
$$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.$$
由题目已知，当$x<0$时，$f(x)=kx(x+2)(x+4)$，且$f(0)=0$。代入上式得：
$$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{kx(x+2)(x+4)-0}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{kx(x+2)(x+4)}{x}.$$
由于$x\to 0^-$时$x\neq 0$，可约去分子分母中的公因子$x$：
$$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}k(x+2)(x+4).$$
此时，$k$为常数，$(x+2)(x+4)$在$x\to 0^-$时是连续函数，可直接代入$x=0$求极限：
$$f'_-(0)=k\cdot(0+2)\cdot(0+4)=k\cdot2\cdot4=8k.$$
因此，$f(x)$在$x=0$处的左导数为$8k$。
公式：f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=8k
提示：左导数定义中分母为x-0，分子为f(x)-f(0)，注意约分后再代入。
目标：令左右导数相等，解出k
由可导的必要条件，函数在 $x=0$ 处可导，则其左导数与右导数必须相等。前几步已分别求得左导数和右导数的表达式：
左导数：$f'_-(0) = 8k$；
右导数：$f'_+(0) = -4$。
令二者相等，得到方程：
$$8k = -4$$
解此一元一次方程，两边同时除以 $8$：
$$k = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$$
因此，当 $k = -\frac{1}{2}$ 时，函数在 $x=0$ 处可导。
至此，已求得参数 $k$ 的值。作为最后一步，可验证：将 $k = -\frac{1}{2}$ 代入原函数，检查左右导数是否确实相等。左导数 $8 \times (-\frac{1}{2}) = -4$，右导数也为 $-4$，相等，故结果正确。
公式：$$8k = -4 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{2}$$
提示：注意左右导数表达式中的符号，解方程时细心即可。