设 $f(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{(n-1) x}{n x^{2}+1}$ ，则 $f(x)$ 的间断点为 $x=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1, \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 向上凸的 $x$ 的取值范围为
$\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z=\mathrm{e}^{2 x-3 z}+2 y$ 确定，则 $3 \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
2004年考研数学二第5题（填空题）
微分方程 (\left(y+x^{3}\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0) 满足 (\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}) 的特解为 (____) ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B A}^{*}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{*}+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\alpha=\displaystyle\int_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, \beta=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t$ 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则（ ）
$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{2}\left(1+\displaystyle\frac{2}{n}\right)^{2} \cdots\left(1+\displaystyle\frac{n}{n}\right)^{2}}$ 等于（ ）
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)\gt 0$ ，则存在 $\delta\gt 0$ ，使得（ ）
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^{2}+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ）
设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于（ ）
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第1列与第2列交换得 $\boldsymbol{B}$ ，再把 $\boldsymbol{B}$ 的第2列加到第3列得 $\boldsymbol{C}$ ，则满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{C}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 为（ ）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 的任意两个非零矩阵，则必有（）
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{x^{3}}\left[\left(\displaystyle\frac{2+\cos x}{3}\right)^{x}-1\right]$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $[0,2]$ 上，$f(x)=x\left(x^{2}-4\right)$ ，若对任意的 $x$ 都满足 $f(x)=k f(x+2)$ ，其中 $k$ 为常数。 （I）写出 $f(x)$ 在 $[-2,0)$ 上的表达式； （II）问 $k$ 为何值时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
设 $f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+\displaystyle\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$, （I）证明 $f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数； （II）求 $f(x)$ 的值域。
曲线 $y=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 与直线 $x=0, x=t(t\gt 0)$ 及 $y=0$ 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $V(t)$ ，侧面积为 $S(t)$ ，在 $x=t$ 处的底面积为 $F(t)$ ． （I）求 $\displaystyle\frac{S(t)}{V(t)}$ 的值； （II）计算极限 $\displaystyle\lim _{t \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{S(t)}{F(t)}$ ．
设 $\mathrm{e}\lt a\lt b\lt\mathrm{e}^{2}$ ，证明 $\ln ^{2} b-\ln ^{2} a\gt\displaystyle\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)$ ．
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $k=6.0 \times 10^{6}$ ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注： kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米／小时。
根据题目开头信息，这是一道2004年考研数学二第21题解答题，原题通常要求计算偏导数。补全后的完整题目如下：
设 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ，其中 $f$ 具有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}, \displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+a) x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\
2 x_{1}+(2+a) x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\
3 x_{1}+3 x_{2}+(3+a) x_{3}+3 x_{4}=0, \\
4 x_{1}+4 x_{2}+4 x_{3}+(4+a) x_{4}=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化．
1 & 2 & -3 \\
-1 & 4 & -3 \\
1 & a & 5
\end{pmatrix}
\]
特征方程有一个二重根，要求我们求 \(a\) 的值，并讨论 \(A\) 是否可相似对角化。
---
### 第一步：计算特征多项式
由于矩阵是3×3，用 \( \lambda I - A \) 计算特征多项式更顺畅。
\[
\lambda I - A =
\begin{pmatrix}
\lambda-1 & -2 & 3 \\
1 & \lambda-4 & 3 \\
-1 & -a & \lambda-5
\end{pmatrix}
\]
计算行列式，这里我按第一行展开：
\[
\det(\lambda I - A)=
(\lambda-1)
\begin{vmatrix}
\lambda-4 & 3 \\
-a & \lambda-5
\end{vmatrix}
-(-2)
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
-1 & \lambda-5
\end{vmatrix}
+3
\begin{vmatrix}
1 & \lambda-4 \\
-1 & -a
\end{vmatrix}
\]
分别计算三个二阶行列式：
1.
\[
\begin{vmatrix}
\lambda-4 & 3 \\
-a & \lambda-5
\end{vmatrix}
= (\lambda-4)(\lambda-5) + 3a
= \lambda^2 -9\lambda +20 +3a
\]
2.
\[
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
-1 & \lambda-5
\end{vmatrix}
= 1\cdot(\lambda-5) - 3\cdot(-1) = \lambda -5 +3 = \lambda -2
\]
3.
\[
\begin{vmatrix}
1 & \lambda-4 \\
-1 & -a
\end{vmatrix}
= 1\cdot(-a) - (\lambda-4)(-1) = -a + \lambda -4 = \lambda - a -4
\]
代入得到：
\[
\det(\lambda I - A)=
(\lambda-1)(\lambda^2 -9\lambda +20+3a) + 2(\lambda-2) + 3(\lambda - a -4)
\]
先展开第一部分：
\[
(\lambda-1)(\lambda^2 -9\lambda +20+3a)
= \lambda^3 -9\lambda^2 +20\lambda +3a\lambda
- \lambda^2 +9\lambda -20 -3a
\]
整理为：
\[
= \lambda^3 -10\lambda^2 + (29+3a)\lambda -20 -3a
\]
再加上后两项：
\[
+2(\lambda-2) = 2\lambda -4,\quad
+3(\lambda-a-4) = 3\lambda -3a -12
\]
合并：
- 三次项：\(\lambda^3\)
- 二次项：\(-10\lambda^2\)
- 一次项：\((29+3a) + 2 + 3 = 34+3a\)
- 常数项：\(-20 -3a -4 -3a -12?\) 等下仔细合并常数部分。
常数部分来源：
从第一部分得 \(-20 -3a\)
从 \(+2(\lambda-2)\) 得常数 \(-4\)
从 \(+3(\lambda-a-4)\) 得常数 \(-3a-12\)
总和：\(-20-3a -4 -3a -12 = -36 -6a\)
所以特征多项式是：
\[
f(\lambda) = \lambda^3 - 10\lambda^2 + (34+3a)\lambda + (-36 -6a)
\]
也可以写为：
\[
f(\lambda) = \lambda^3 -10\lambda^2 + (34+3a)\lambda -6(a+6)
\]
---
### 第二步：有二重根的条件
设二重根为 \(r\)，且另一根为 \(s\)，那么有：
\[
\lambda^3 -10\lambda^2 + (34+3a)\lambda -6(a+6) = (\lambda - r)^2(\lambda - s)
\]
展开右边：
\[
(\lambda^2 - 2r\lambda + r^2)(\lambda - s)
= \lambda^3 - (s+2r)\lambda^2 + (2rs + r^2)\lambda - r^2 s
\]
比较系数：
1. 二次项系数：
\[
s + 2r = 10
\]
2. 一次项系数：
\[
2rs + r^2 = 34 + 3a
\]
3. 常数项：
\[
r^2 s = 6(a+6)
\]
由(1)得 \(s = 10 - 2r\)。代入其他方程。
代入(2)：
\[
2r(10-2r) + r^2 = 34+3a
\]
\[
20r -4r^2 + r^2 = 20r -3r^2 = 34+3a
\]
所以：
\[
20r - 3r^2 = 34+3a \quad (A)
\]
代入(3):
\[
r^2(10-2r) = 6(a+6)
\]
\[
10r^2 -2r^3 = 6a+36
\]
除以2：
\[
5r^2 - r^3 = 3a+18 \quad (B)
\]
由(A)式得：
\[
3a = 20r -3r^2 -34
\]
即：
\[
a = \frac{20r -3r^2 -34}{3}
\]
由(B)式：
\[
3a = 5r^2 - r^3 -18
\]
所以有等式：
\[
20r - 3r^2 -34 = 5r^2 - r^3 -18
\]
移项：
\[
20r -3r^2 -34 -5r^2 + r^3 +18 =0
\]
\[
r^3 -8r^2 +20r -16 =0
\]
试根：\(r=2\) 代入：\(8-32+40-16=0\)，成立。因此 \(r-2\) 为因子。
做多项式除法：
\[
(r^3 -8r^2+20r-16)\div (r-2)
\]
得到 \(r^2 -6r +8 = (r-2)(r-4)\)。
所以解为 \(r=2\)（二重根可能性）或 \(r=4\)。
---
### 第三步：分别计算对应的 \(a\)
- 若 \(r=2\)：
\[
a = \frac{20\cdot2 -3\cdot4 -34}{3} = \frac{40 -12 -34}{3} = \frac{-6}{3} = -2
\]
- 若 \(r=4\)：
\[
a = \frac{20\cdot4 -3\cdot16 -34}{3} = \frac{80 -48 -34}{3} = \frac{-2}{3}
\]
所以可能 \(a=-2\) 或 \(a=-\frac{2}{3}\)。
---
### 第四步：判断相似对角化可能性
我们需要看二重根对应的几何重数（即 \((A - rI)\) 的零空间维数）是否为2。
#### 情况1：\(a=-2\)，此时 \(r=2\) 为二重根
计算 \(A-2I\)：
\[
A-2I=
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & -3 \\
-1 & 2 & -3 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\]
显然第一行与第二行成比例，第三行是第一行的-1倍，所以秩为1。
零空间维数 = 3-1 = 2，等于代数量数。因此可相似对角化。
#### 情况2：\(a=-\frac23\)，此时 \(r=4\) 为二重根
计算 \(A-4I\)：
\[
A-4I=
\begin{pmatrix}
-3 & 2 & -3 \\
-1 & 0 & -3 \\
1 & -\frac23 & 1
\end{pmatrix}
\]
检查秩：
先看第一行与第二行，不成比例，至少有秩2。
第三行是否可以由前两行线性表示？可检验一下：
假设第三行 = \(\alpha\) 第一行 + \(\beta\) 第二行
则对第一列：\(1 = -3\alpha - \beta\)
第二列：\(-\frac23 = 2\alpha + 0\cdot\beta \R\rightarrow \alpha = -\frac13\)
代入第一列：\(1 = 1 - \beta \R\rightarrow \beta=0\)
那么检查第三列：第三列应为 \(-3\alpha -3\beta = 1\)，实际第三列是1，相符，所以第三行是前两行的线性组合。因此秩 =2。
零