2004年考研数学二第3题

首先观察被积函数 $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$，积分区间为 $[1,+\infty)$。由于积分上限为无穷大，且当 $x\to 1^+$ 时，分母 $\sqrt{x^2-1}\to 0$，被积函数趋于无穷大，因此该积分是无穷限与无界函数的混合型广义积分。 为了处理根号 $\sqrt{x^2-1}$，常见的代换方法有两种： 1. **三角代换**：令 $x=\sec t$，则 $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\sec^2 t-1}=\tan t$，$dx=\sec t\tan t\,dt$。当 $x=1$ 时，$\sec t=1$ 得 $t=0$；当 $x\to +\infty$ 时，$\sec t\to +\infty$ 得 $t\to \frac{\pi}{2}^-$。代入后被积函数简化为 $\frac{1}{\sec t\cdot\tan t}\cdot\sec t\tan t\,dt=dt$，积分变为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt$，形式简单。 2. **倒代换**：令 $x=\frac{1}{t}$，则 $dx=-\frac{1}{t^2}dt$，$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}=\frac{\sqrt{1-t^2}}{|t|}$。当 $x=1$ 时 $t=1$；当 $x\to +\infty$ 时 $t\to 0^+$。代入后得到 $\int_{1}^{0} \frac{1}{\frac{1}{t}\cdot\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt$，化简后为 $\int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$，这也是一个标准积分。 两种代换均可行，但三角代换 $x=\sec t$ 更为直接，且积分限对应简单（$0$ 到 $\frac{\pi}{2}$），因此本步骤选择三角代换。

我们令 $x = \sec t$，则 $dx = \sec t \tan t \, dt$。当 $x = 1$ 时，$\sec t = 1$，解得 $t = 0$；当 $x \to +\infty$ 时，$\sec t \to +\infty$，即 $t \to \frac{\pi}{2}^{-}$。另外，$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \sqrt{\tan^2 t} = |\tan t|$。由于在区间 $t \in [0, \frac{\pi}{2})$ 上 $\tan t \geq 0$，因此 $\sqrt{x^2 - 1} = \tan t$。 原积分为 $\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}$。代入上述代换： $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec t \tan t \, dt}{\sec^2 t \cdot \tan t}. $$ 分子分母同时约去 $\sec t \tan t$（注意 $\tan t \neq 0$ 在 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 内成立，端点处极限处理不影响积分值），得到： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sec t} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt. $$ 因此，原积分简化为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt$。

本步骤的目标是计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} dt$。该积分是上一步骤中经过变量代换和化简后得到的表达式。由于被积函数为常数1，积分变量为 $t$，积分区间为 $[0, \pi/2]$，因此可以直接利用定积分的基本公式：$\int_{a}^{b} 1 \, dt = b - a$。具体计算过程如下： $$\int_{0}^{\pi/2} dt = t \Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}.$$ 这里，$t \Big|_{0}^{\pi/2}$ 表示先计算上限 $t = \pi/2$ 时原函数 $t$ 的值，再减去下限 $t = 0$ 时原函数 $t$ 的值。由于原函数 $t$ 在 $t=0$ 处的值为0，所以结果就是 $\pi/2$。这个结果将用于下一步的最终答案计算。

为了验证三角代换所得结果的正确性，我们采用倒代换 $x = \frac{1}{t}$ 重新计算原积分。 首先，由 $x = \frac{1}{t}$ 得 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$。当 $x = 1$ 时，$t = 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^+$。因此原积分变量替换为： $$ \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = \int_1^{0} \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t^2} \sqrt{\frac{1}{t^2} - 1}}. $$ 化简被积函数：分母中 $\frac{1}{t^2} \sqrt{\frac{1}{t^2} - 1} = \frac{1}{t^2} \cdot \frac{\sqrt{1 - t^2}}{|t|}$。由于 $t \in (0,1]$，$|t| = t$，故分母为 $\frac{1}{t^2} \cdot \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t} = \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t^3}$。于是被积函数变为： $$ \frac{-\frac{1}{t^2}}{\frac{\sqrt{1 - t^2}}{t^3}} = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{t^3}{\sqrt{1 - t^2}} = -\frac{t}{\sqrt{1 - t^2}}. $$ 积分限交换后去掉负号： $$ \int_1^{0} \left( -\frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \right) dt = \int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} dt. $$ 注意：此处得到的被积函数为 $\frac{t}{\sqrt{1 - t^2}}$，而题目步骤概要中写为 $\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$，存在差异。实际上，正确的化简应得到 $\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$，我们来检查： 原积分 $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}$，令 $x = \frac{1}{t}$，则 $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{t^2} - 1} = \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t}$（因为 $t>0$）。于是 $$ \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t^2} \cdot \frac{\sqrt{1 - t^2}}{t}} = \frac{-\frac{1}{t^2}}{\frac{\sqrt{1 - t^2}}{t^3}} dt = -\frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} dt. $$ 积分限 $x=1 \to t=1$，$x\to+\infty \to t\to0$，所以 $$ \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = \int_1^0 -\frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} dt = \int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} dt. $$ 计算 $\int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} dt$：令 $u = 1 - t^2$，则 $du = -2t dt$，$t dt = -\frac{1}{2} du$，当 $t=0$ 时 $u=1$，$t=1$ 时 $u=0$，于是 $$ \int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} dt = \int_1^0 \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{1/2} \Big|_0^1 = 1. $$ 但三角代换的结果为 $\frac{\pi}{2}$，两者不一致。这说明步骤概要中的化简有误。正确的倒代换结果应为 $1$，而三角代换结果为 $\frac{\pi}{2}$，因此三角代换的结果是错误的。实际上，原积分 $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}$ 的正确值为 $1$（可通过直接积分或查表验证）。所以本步骤通过倒代换验证发现三角代换结果有误，正确结果应为 $1$。