2004年考研数学二第2题

给定参数方程： $$ x = t^3 + 3t + 1, \quad y = t^3 - 3t + 1. $$ 需要求一阶导数 $\frac{dy}{dx}$。根据参数方程求导公式： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}. $$ 计算： $$ \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 3, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3. $$ 因此， $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{3t^2 + 3} = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}. $$ 这一步是后续求二阶导数的基础。

已知一阶导数 $\frac{dy}{dx} = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$。现在需要求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$。 根据参数方程二阶导数公式： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{ \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) }{ \frac{dx}{dt} }. $$ 先计算 $\frac{d}{dt} \left( \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \right)$，使用商的求导法则： $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}, $$ 其中 $u = t^2 - 1$, $u' = 2t$; $v = t^2 + 1$, $v' = 2t$。 $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \right) = \frac{ (2t)(t^2 + 1) - (t^2 - 1)(2t) }{ (t^2 + 1)^2 } = \frac{ 2t^3 + 2t - 2t^3 + 2t }{ (t^2 + 1)^2 } = \frac{4t}{ (t^2 + 1)^2 }. $$ 又 $\frac{dx}{dt} = 3t^2 + 3 = 3(t^2 + 1)$。 因此， $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{ \frac{4t}{ (t^2 + 1)^2 } }{ 3(t^2 + 1) } = \frac{4t}{3(t^2 + 1)^3}. $$ 这就是二阶导数表达式。

曲线向上凸（即凹向下）的充要条件是二阶导数小于零： $$ \frac{d^2y}{dx^2} < 0. $$ 由步骤2得到的二阶导数表达式： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4t}{3(t^2 + 1)^3}. $$ 分母 $3(t^2 + 1)^3 > 0$ 恒正，因此符号由分子 $4t$ 决定： $$ \frac{4t}{3(t^2 + 1)^3} < 0 \quad \Leftrightarrow \quad 4t < 0 \quad \Leftrightarrow \quad t < 0. $$ 所以，当 $t < 0$ 时，曲线向上凸。 注意：题目中“向上凸”就是凹向下（concave down），数学上等价于二阶导数小于零。

已求得当 $t < 0$ 时曲线向上凸。现在需要将 $t$ 的范围转化为 $x$ 的取值范围。 已知 $x = t^3 + 3t + 1$。考虑函数 $x(t) = t^3 + 3t + 1$ 在 $t < 0$ 时的取值范围。 求导：$\frac{dx}{dt} = 3t^2 + 3 > 0$ 恒成立，故 $x(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。 计算关键点： - 当 $t \to -\infty$ 时，$x = t^3 + 3t + 1 \to -\infty$。 - 当 $t = 0$ 时，$x = 0^3 + 3\cdot 0 + 1 = 1$。 由于 $x(t)$ 严格单调递增，当 $t < 0$ 时，有 $x < 1$。当 $t \to -\infty$ 时 $x \to -\infty$。 因此，$x$ 的取值范围为 $(-\infty, 1)$。 注：有些答案写成 $(-\infty, 1]$（包含 $t=0$ 对应的 $x=1$），因为当 $t=0$ 时 $d^2y/dx^2 = 0$，曲线可能变向，但通常拐点不包含在凸区间内，故开区间更准确。