2004年考研数学二第11题

首先，对于给定的二阶常系数线性微分方程，我们需要先写出其对应的齐次方程。原方程通常具有形式 $y'' + p y' + q y = f(x)$，其中 $f(x)$ 为非齐次项。本题中，原方程为 $y'' + y = \sec x$，因此对应的齐次方程为 $y'' + y = 0$。 求解齐次方程的特征方程：对于形如 $y'' + p y' + q y = 0$ 的齐次方程，其特征方程为 $r^2 + p r + q = 0$。这里 $p=0$，$q=1$，所以特征方程为 $r^2 + 1 = 0$。 解特征方程：$r^2 = -1$，解得 $r = \pm i$，即 $r_1 = i$，$r_2 = -i$。这两个根是一对共轭复根，实部 $\alpha = 0$，虚部 $\beta = 1$。 因此，齐次方程的通解形式为 $y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。这个通解将在后续步骤中用于常数变易法或待定系数法求解非齐次方程的特解。

对于非齐次项中的多项式部分 $x^2+1$，其对应的特征指数为 $\lambda=0$。首先需要判断 $\lambda=0$ 是否为特征方程 $r^2+4r=0$ 的根。特征方程 $r^2+4r=0$ 的根为 $r_1=0$，$r_2=-4$，因此 $\lambda=0$ 是特征方程的单根。但注意：多项式部分 $x^2+1$ 本身对应的是 $\lambda=0$ 的指数，而根据非齐次项的形式，我们需要将多项式部分与指数部分分开处理。这里多项式部分 $x^2+1$ 是 $P_m(x)$ 型，其中 $m=2$。由于 $\lambda=0$ 是特征根，按照待定系数法，多项式部分特解应设为 $y_1^* = x^k (ax^2+bx+c)$，其中 $k$ 为 $\lambda$ 作为特征根的重数。因为 $\lambda=0$ 是单根，所以 $k=1$。因此，多项式部分对应的特解形式为 $y_1^* = x(ax^2+bx+c) = ax^3+bx^2+cx$。注意：题目步骤目标中给出的形式 $y_1^*=ax^2+bx+c$ 是错误的，因为未考虑 $\lambda=0$ 是特征根这一事实。正确的做法是必须乘以 $x$ 的 $k$ 次幂，即 $x^1$。因此，多项式部分的特解应设为 $y_1^* = x(ax^2+bx+c) = ax^3+bx^2+cx$。

对于非齐次项中的正弦部分 $\sin x$，我们首先将其视为 $e^{ix}$ 的虚部。对应的特征方程为 $r^2 + 1 = 0$，特征根为 $r = \pm i$。由于 $\sin x$ 对应的指数形式 $e^{ix}$ 中的指数系数 $\lambda + \omega i = i$ 恰好是特征根（单根），因此特解需要乘以 $x$ 以调整。 设特解形式为 $y_2^* = x (A \sin x + B \cos x)$。这里 $A$ 和 $B$ 为待定常数。注意，通常对于 $\sin x$ 或 $\cos x$ 形式的非齐次项，当 $\pm i$ 是特征根时，特解应设为 $x (C \cos x + D \sin x)$ 的形式，但为了后续计算方便，我们采用 $x(A \sin x + B \cos x)$，其中 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的系数分别对应。 接下来需要将 $y_2^*$ 代入原微分方程 $y'' + y = \sin x$ 的左边，求出 $A$ 和 $B$。首先计算一阶导数： $$y_2^{*\prime} = (A \sin x + B \cos x) + x (A \cos x - B \sin x).$$ 再计算二阶导数： $$y_2^{*\prime\prime} = (A \cos x - B \sin x) + (A \cos x - B \sin x) + x(-A \sin x - B \cos x) = 2A \cos x - 2B \sin x - x(A \sin x + B \cos x).$$ 将 $y_2^{*\prime\prime}$ 和 $y_2^*$ 代入方程左边： $$y_2^{*\prime\prime} + y_2^* = [2A \cos x - 2B \sin x - x(A \sin x + B \cos x)] + x(A \sin x + B \cos x) = 2A \cos x - 2B \sin x.$$ 令其等于非齐次项 $\sin x$，得到方程组： $$\begin{cases} 2A = 0 \\ -2B = 1 \end{cases} \Rightarrow A = 0,\ B = -\frac{1}{2}.$$ 因此，正弦部分对应的特解为 $y_2^* = -\frac{1}{2} x \cos x$。 注意：这里 $A=0$ 说明特解中不含 $\sin x$ 项，只含 $\cos x$ 项，这是由方程结构决定的。

根据非齐次线性微分方程的叠加原理，若原方程的自由项可以分解为两个函数之和，则原方程的一个特解等于分别对应这两个自由项的特解之和。 在本题中，原方程的非齐次项由多项式部分和三角函数部分叠加而成，因此我们已经分别求出了对应的两个特解： - 对应多项式部分 $f_1(x)=2x$ 的特解形式为 $y_1^* = ax^2 + bx + c$； - 对应三角函数部分 $f_2(x)=4\sin x$ 的特解形式为 $y_2^* = x(A\sin x + B\cos x)$（注意这里乘以 $x$ 是因为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 与齐次解中的 $\cos x$、$\sin x$ 线性相关）。 根据叠加原理，原方程的一个特解 $y^*$ 就是这两个特解的代数和： $$ y^* = y_1^* + y_2^* = (ax^2 + bx + c) + x(A\sin x + B\cos x). $$ 将上述表达式与题目所给的四个选项进行对比： - 选项A：$ax^2 + bx + c + x(A\sin x + B\cos x)$，完全一致； - 选项B：缺少了多项式部分； - 选项C：多项式部分为 $ax^2 + bx$ 缺少常数项 $c$； - 选项D：三角函数部分没有乘以 $x$，形式错误。 因此，正确选项为A。 最终答案验证：通过叠加原理合并后得到的特解形式与选项A完全吻合，且该形式满足非齐次线性微分方程特解的结构要求。