💡 答案解析
好的，我们分步细致地分析这个问题，先确定积分区域，然后写出对应坐标系下的积分限，对比选项，给出最终解答。
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**第一步：确定区域 \(D\) 的形状**
给定的区域：
\[
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right}
\]
把不等式改写为标准形式：
\[
x^{2} + y^{2} - 2y \le 0
\implies x^{2} + (y-1)^2 \le 1
\]
所以这是一个圆心在 \((0,1)\)、半径为 \(1\) 的圆盘。
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**第二步：检验各个选项的合理性**
**(A)**
选项（A）给出：
\[
\int_{-1}^{1} \mathrm{d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(xy) \mathrm{d} y
\]
这里内层对 \(y\) 的积分范围是 \(-\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}\)，这个是圆心在原点的单位圆盘，而我们的区域是圆心在 \((0,1)\)，所以这个显然错误。
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**(B)**
选项（B）：
\[
2 \int_{0}^{2} \mathrm{d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x y) \mathrm{d} x
\]
先看外层 \(y\) 从 0 到 2，正确，因为圆盘 \(x^2+(y-1)^2=1\) 的 \(y\) 范围确实是 \([0,2]\)。
对于固定 \(y\)，由
\[
x^2 \le 2y - y^2
\implies |x| \le \sqrt{2y-y^2}
\]
所以正确的 \(x\) 范围应当是 \(-\sqrt{2y-y^2} \le x \le \sqrt{2y-y^2}\)，而不是只有 0 到正的那一半再乘 2。但这种写法 “2倍 0 到正半” 在 \(f(xy)\) 是偶函数时正确，但对一般的连续函数 \(f\) 不能保证这一点。实际上这里仅仅是 \(x\) 的积分区间被乘了2，这不等于对称区间上的积分，除非 \(f(xy)\) 关于 \(x\) 是偶函数。题干并没有给出这个性质，所以不能直接认为对。所以(B)不一定正确。
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**(C) 和 (D) 为极坐标形式**
我们用极坐标：
\[
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
\]
原区域方程：
\[
x^2+y^2 \le 2y \implies r^2 \le 2 r\sin\theta
\]
若 \(r>0\)，则有 \(r \le 2\sin\theta\)。注意要 \(r\ge0\)，就必须 \(\sin\theta\ge0\)，所以\(\theta\)范围是 \([0,\pi]\)。
在此区域内，积分变为：
\[
\iint_D f(xy)\,dxdy
= \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{2\sin\theta} f(r\cos\theta \cdot r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta
\]
即
\[
\iint_D f(xy)\,dxdy
= \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{2\sin\theta} f(r^2 \sin\theta\cos\theta)\, r\, dr
\]
比较选项：
- (C) 缺少了极坐标中的 Jacobi 因子 \(r\)，所以错误。
- (D) 完全正确。
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**第三步：确定答案**
正确选项为 **D**。
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**最终答案**：
\[
\boxed{D}
\]
📋 详细解题步骤
目标：确定区域D的形状
首先，题目中给出的区域 $D$ 由不等式 $x^2 + y^2 \leq 2y$ 定义。为了明确该区域的几何形状，我们需要将其化为圆的标准形式。
将不等式改写为：
$$x^2 + y^2 - 2y \leq 0$$
对 $y$ 项进行配方：
$$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 \leq 0$$
即
$$x^2 + (y - 1)^2 \leq 1$$
这是一个圆的标准不等式，表示圆心在 $(0, 1)$、半径为 $1$ 的圆盘（包括边界）。因此，区域 $D$ 是一个圆心位于 $(0,1)$、半径为 $1$ 的圆盘。
该圆盘在直角坐标系中的位置：圆心在 $y$ 轴正半轴上，圆盘完全位于 $y \geq 0$ 的区域（因为圆心纵坐标为 $1$，半径为 $1$，所以圆盘下端点恰好在原点 $(0,0)$）。这一形状将用于后续步骤中确定积分限或进行坐标变换。
公式：$$x^2 + (y - 1)^2 \leq 1$$
提示：配方时注意 $y^2-2y$ 加1再减1，保持等式平衡。
目标：检验选项A
首先，明确题目中给定的积分区域 $D$ 是由曲线 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 与直线 $y = 0$ 所围成的平面区域。曲线 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 可化为 $y^2 = 2x - x^2$，即 $x^2 - 2x + y^2 = 0$，配方得 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，这是一个圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆的上半部分（因为 $y \ge 0$）。因此，区域 $D$ 是圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的半圆区域（$y \ge 0$）。
现在检验选项A：
$$\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} \,dxdy$$
选项A的被积函数为 $\sqrt{1-x^2-y^2}$，其积分区域隐含为 $x^2+y^2 \le 1$（因为根号内非负），即圆心在原点的单位圆盘。但题目中的区域 $D$ 是圆心在 $(1,0)$ 的半圆，两者完全不同。因此，选项A的积分区域与题目所给区域 $D$ 不匹配，故选项A不正确。
综上，选项A被排除。
公式：$$(x-1)^2 + y^2 = 1$$
提示：先通过配方确定区域D的圆心和半径，再与选项中的积分区域对比。
目标：检验选项B
选项B给出的积分形式为：
$$\iint\limits_{D} f(xy) \, dxdy = 2\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{+\infty} f(xy) \, dx$$
我们需要判断该等式是否成立。首先，观察积分区域$D$：由题目可知，$D$是由$x=0, y=0, x+y=1$所围成的三角形区域，即$0 \le x \le 1-y$，$0 \le y \le 1$。因此，在直角坐标系下，正确的二次积分顺序应为：
$$\iint\limits_{D} f(xy) \, dxdy = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(xy) \, dx$$
选项B将内层积分上限从$1-y$改为$+\infty$，并乘以2，即$2\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{+\infty} f(xy) \, dx$。这种变形相当于将$x$的积分区间从$[0,1-y]$扩展为$[0,+\infty)$，然后乘以2。这只有在被积函数$f(xy)$关于$x$为偶函数，且积分区域关于$x=0$对称时，才能将$[0,+\infty)$上的积分转化为$(-\infty,+\infty)$上积分的一半，从而用2倍$[0,+\infty)$上的积分表示。但这里$x$的原始积分区间是$[0,1-y]$，并非对称区间，且题目并未给出$f(xy)$关于$x$的奇偶性条件，因此不能随意将积分上限扩展为无穷并乘以2。实际上，对于一般的$f$，$\int_{0}^{1-y} f(xy) \, dx$与$2\int_{0}^{+\infty} f(xy) \, dx$没有必然相等的关系。所以选项B的变换缺乏依据，是错误的。
因此，选项B被排除。
公式：\iint\limits_{D} f(xy) \, dxdy = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(xy) \, dx
提示：注意积分区域的边界，不要随意改变积分限。
目标：检验选项C和D
首先分析选项C：$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^{\pi} d\theta \int_0^{2\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \,dr$。
题目中积分区域$D$是圆$x^2 + y^2 \leq 2y$，即$x^2 + (y-1)^2 \leq 1$，该圆在极坐标下的表示为$r \leq 2\sin\theta$，且$\theta$的取值范围为$[0, \pi]$。
在直角坐标到极坐标的变换中，面积元满足$dxdy = r \, dr d\theta$，因此正确的极坐标二重积分形式应为：
$$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^{\pi} d\theta \int_0^{2\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr.$$
选项C中积分内层缺少因子$r$，直接写成了$dr$，因此选项C错误。
接着检验选项D：$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^{\pi} d\theta \int_0^{2\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr$。
该选项正确包含了雅可比因子$r$，且积分限与区域对应：$\theta$从$0$到$\pi$，$r$从$0$到$2\sin\theta$，完全符合极坐标变换的要求，因此选项D正确。
综上，选项C错误，选项D正确。
公式：\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_0^{\pi} d\theta \int_0^{2\sin\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr
提示：极坐标变换时，面积元一定要乘以r，这是最常见的易错点。