2004年考研数学二第13题

本题中，矩阵$A$是一个$3 \times 3$矩阵，我们需要通过右乘初等矩阵来实现列交换操作。交换第1列与第2列，对应的初等矩阵$E_1$由单位矩阵$I_3$交换第1列与第2列得到。 单位矩阵$I_3$为： $$ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 交换第1列与第2列，即把第1列的元素$(1,0,0)^T$与第2列的元素$(0,1,0)^T$互换位置，得到： $$ E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 验证：右乘$E_1$的效果是交换$A$的第1列与第2列。设$A$的列向量为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，则 $$ A E_1 = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = (\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3) $$ 因此，$B = A E_1$即为交换$A$的第1、2列后得到的矩阵。

我们需要构造一个初等矩阵，使得右乘该矩阵的效果是将矩阵的第2列加到第3列。初等矩阵由单位矩阵经过相同的列变换得到。 设单位矩阵为 $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。 要将第2列加到第3列，即对单位矩阵的第2列乘以1后加到第3列上，其他列保持不变。具体操作： - 第1列不变：$(1,0,0)^T$。 - 第2列不变：$(0,1,0)^T$。 - 第3列变为原来的第3列加上第2列：$(0,0,1)^T + (0,1,0)^T = (0,1,1)^T$。 因此，得到的初等矩阵 $E_2$ 为： $$ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 验证：设任意矩阵 $B$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，右乘 $E_2$ 后，$C = B E_2$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 的各列按 $E_2$ 第 $j$ 列系数的线性组合。由于 $E_2$ 的第3列为 $(0,1,1)^T$，所以 $C$ 的第3列等于 $B$ 的第2列乘以1加上 $B$ 的第3列乘以1，即第2列加到第3列，符合要求。 因此，$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

由已知条件，矩阵$C$可以表示为$C = B E_2$，而$B$又可以表示为$B = A E_1$。将$B$的表达式代入$C$的表达式中，得到： $$C = (A E_1) E_2$$ 根据矩阵乘法的结合律，上式可化为： $$C = A (E_1 E_2)$$ 另一方面，题目中$C$与$A$的关系为$C = A Q$，其中$Q$是待求的初等矩阵乘积。比较两个表达式： $$A Q = A (E_1 E_2)$$ 由于$A$是可逆矩阵（题目隐含条件），左乘$A^{-1}$可得： $$Q = E_1 E_2$$ 因此，$Q$就是两个初等矩阵$E_1$和$E_2$的乘积。注意，$E_1$和$E_2$分别对应将$A$变换为$B$以及将$B$变换为$C$的初等行变换矩阵，它们的乘积$E_1 E_2$即为从$A$直接变换到$C$的复合变换矩阵。

本步骤需要计算两个初等矩阵的乘积 $Q = E_1 E_2$。已知 $E_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，$E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。矩阵乘法按行乘列进行： 首先计算 $Q$ 的第一行第一列元素：$E_1$ 的第一行 $(0,1,0)$ 与 $E_2$ 的第一列 $(1,0,0)^T$ 点乘，得 $0\times1 + 1\times0 + 0\times0 = 0$。 第一行第二列：$E_1$ 的第一行 $(0,1,0)$ 与 $E_2$ 的第二列 $(0,1,0)^T$ 点乘，得 $0\times0 + 1\times1 + 0\times0 = 1$。 第一行第三列：$E_1$ 的第一行 $(0,1,0)$ 与 $E_2$ 的第三列 $(0,1,1)^T$ 点乘，得 $0\times0 + 1\times1 + 0\times1 = 1$。 第二行第一列：$E_1$ 的第二行 $(1,0,0)$ 与 $E_2$ 的第一列 $(1,0,0)^T$ 点乘，得 $1\times1 + 0\times0 + 0\times0 = 1$。 第二行第二列：$E_1$ 的第二行 $(1,0,0)$ 与 $E_2$ 的第二列 $(0,1,0)^T$ 点乘，得 $1\times0 + 0\times1 + 0\times0 = 0$。 第二行第三列：$E_1$ 的第二行 $(1,0,0)$ 与 $E_2$ 的第三列 $(0,1,1)^T$ 点乘，得 $1\times0 + 0\times1 + 0\times1 = 0$。 第三行第一列：$E_1$ 的第三行 $(0,0,1)$ 与 $E_2$ 的第一列 $(1,0,0)^T$ 点乘，得 $0\times1 + 0\times0 + 1\times0 = 0$。 第三行第二列：$E_1$ 的第三行 $(0,0,1)$ 与 $E_2$ 的第二列 $(0,1,0)^T$ 点乘，得 $0\times0 + 0\times1 + 1\times0 = 0$。 第三行第三列：$E_1$ 的第三行 $(0,0,1)$ 与 $E_2$ 的第三列 $(0,1,1)^T$ 点乘，得 $0\times0 + 0\times1 + 1\times1 = 1$。 因此得到 $Q = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。

经过前四步的推导，我们得到了正交变换后的二次型标准形为 $f = 2y_1^2 + 2y_2^2 + 6y_3^2$。该标准形对应的矩阵为对角矩阵 $\Lambda = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$。题目所给选项为： (A) $f = 2y_1^2 + 2y_2^2 + 6y_3^2$，正交变换矩阵为 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$； (B) $f = 2y_1^2 + 2y_2^2 + 6y_3^2$，正交变换矩阵为 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$； (C) $f = 2y_1^2 + 2y_2^2 + 6y_3^2$，正交变换矩阵为 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$； (D) $f = 2y_1^2 + 2y_2^2 + 6y_3^2$，正交变换矩阵为 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。 观察四个选项，标准形完全相同，区别仅在于正交变换矩阵 $Q$ 的第三列符号。我们之前求得的对应特征值 $\lambda_3 = 6$ 的单位特征向量为 $\xi_3 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^T$，将其作为 $Q$ 的第三列，即 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$，与选项(D)完全一致。因此正确答案为(D)。